高校生の整数問題の解説｜逆数の和とは？

質問

• 高一の息子に解けない整数問題があります。３つの自然数の逆数の和が5/11の場合、それぞれの自然数を求める問題です。答えは（３，１１，３３）、（３，９，９９）ですが、後者の答えが理解できません。
• この問題が実際の過去問なのかどうか、講習の先生の問題のレベルを知りたいと思っています。他のサイトで同様の問題を質問しても答えは得られず、理解できる解説もありません。
• 解説を細かくお教えいただけると幸いです。息子は他の解説を読んでも理解できないようで、私も２週間以上考えてもわかりませんでした。

回答No.8

oremoremon

>この問題が過去問(中学入試、高校入試、大学入試)であれば、出典をお教えください。

出典ということであれば「エジプト分数」で検索してみてください。この問題はその関連問題で
入試問題や過去問以前に、古代エジプトにまでさかのぼる問題です。

少し一般化した問題
「6以上のすべての自然数nに対して、5/n = 1/a + 1/b + 1/c が自然数解を持つかどうか」
は未解決だったと思います。

この手の整数問題は、条件が少しでも変わると難易度が激変することがあります。

たとえば
5/12 = 1/a + 1/b + 1/c の解 {a, b, c} として
{3, 13, 156}, {3, 14, 84}, {3, 15, 60}, {3, 16, 48}, {3, 18, 36}, {3, 20, 30}, {3, 21, 28}, {3, 24, 24}, {4, 7, 42}, {4, 8, 24}, {4, 9, 18}, {4, 10, 15}, {4, 12, 12}, {5, 5, 60}, {5, 6, 20}, {6, 6, 12}, {6, 8, 8}
が、

5/13 = 1/a + 1/b + 1/c の解 {a, b, c} として
{3, 21, 273}, {3, 24, 104}, {3, 26, 78}, {3, 39, 39}, {4, 8, 104}

が見つかります（全部かどうかは吟味していません）

おそらく先生はそのあたりの事情もご存知の上で、5/11の場合は練習問題として手頃と判断なさったのでしょう。

参考URL：
http://www.wolframalpha.com/input/?_=1308029611018&i=Select%5bFlatten%5bTable%5b{5%2f12-1%2fa-1%2fb-1%2fc%2ca%2cb%2cc}%2c{a%2c3%2c6}%2c{b%2ca%2c100}%2c{c%2cb%2c300}%5d%2c2%5d%2c%23%5b%5b1%5d%5d%3d%3d0%26%5d&fp=1&incTime=true

http://www.wolframalpha.com/input/?_=1308029778309&i=Select%5bFlatten%5bTable%5b{5%2f13-1%2fa-1%2fb-1%2fc%2ca%2cb%2cc}%2c{a%2c3%2c6}%2c{b%2ca%2c100}%2c{c%2cb%2c300}%5d%2c2%5d%2c%23%5b%5b1%5d%5d%3d%3d0%26%5d&fp=1&incTime=true

URLが長いようですので、コピペでブラウザのアドレス欄に貼っていただければ幸いです。
（計算に時間がかかるときは「Try again with more time »」と出ます。そこをクリックすると計算続行します）

お礼

OREMOREMON様

　出典に関して、『エジプト分数』というキーワードをお教えいただき、ありがとうございます。

　単位分数分解、有理数、無理数、連分数、・・実数、虚数、有理数、無理数、整数、自然数。素数　な

　どの数学的な深みのある内容を含んでいることが分かり、講習の先生が、高一の息子を含めた生徒たち

　に、数学の楽しさや(私たち親子には、いささか苦痛ですが)興味を持たせるきっかけを、おつくりにな

　ったと思います。このようなことに気づかせていただいた、Oremoremon様とエジプト分数に感謝いた

　します。