高一の息子の整数問題の解説をお願いいたします。

質問

答えを導き出す説明を、細かく、お教えください。講習中に３０分以内で解くように言われた問題で、、親の私は、もう２週間位考えていますが、わかりません。
　他のサイトで質問し、他の方の解説をみても、私は、一部しか理解できません。

問題は、
　　　　　３つの自然数　a,　b,　c 　の逆数の和が　5/11　 のとき、a,　b,　c 　を求めよ。

です。　答えは（３，１１，３３）、（３，９，９９）だそうです。私は前者の答えは理解できましたが、後者の答えがどうしてそうなるのか、理解できません。答えはまだあるようにも思えます。息子は、全く、解説読んでも、理解できないようです。　もし、どなたか、この問題が過去問(中学入試、高校入試、大学入試)であれば、出典をお教えください。講習の先生の問題のレベルを知りたいです。

回答No.9

mister_moonlight · ベストアンサー

＃6です。c＝3以外の場合も含めて、まとめておきます。

a≧b≧cと仮定しても、一般性を失わない。
よって、1/a≦1/b≦1/cだから、5/11＝1/a＋1/b＋1/c≦3/c　だから　c≦6

(1)　c＝1の時、1/a＋1/b＝-6/11＜0　だから不適。
(2)　c＝2の時、1/a＋1/b＝-1/22＜0　だから不適。
(3)　c＝3の時
1/a＋1/b＋1/c＝5/11 から、1/a＋1/b＝4/33　→　4ab＝33(a+b) →　4と33の最小公倍数を考えると、(4a-33)*(4b-33)＝1089　と変形できる。
1089＝1089×1、121×9、363×3、99×11。　a≧b≧6　から　4a-33≧-9、b-33≧-9であり、4a-33≧4b-33　から　(4a-33、4b-33)＝(1089、1)、(121、9)、(363、3)、(99、11)。
実際に計算すると、題意を満たすのは、(a、b)＝(33、11)、(99、9)のみ。

(4)　c＝4の時
1/a＋1/b＝9/44　→　9ab＝44(a+b) →　9と44の最小公倍数を考えると、(9a-44)*(9b-44)＝396　と変形できる。
以下は、(3)と同じようにやり、題意を満たす整数値を探す。
(5)　c＝5の時
1/a＋1/b＝14/55　→　14ab＝55(a+b) →　14と55の最小公倍数を考えると、(14a-55)*(14b-55)＝3025　と変形できる。
以下は、(3)と同じようにやり、題意を満たす整数値を探す
(6)　c＝6の時
1/a＋1/b＝19/66　→　19ab＝66(a+b) →　19と66の最小公倍数を考えると、(19a-66)*(19b-66)＝4356　と変形できる。
以下は、(3)と同じようにやり、題意を満たす整数値を探す

というのが、解の全貌なんだが、これを30分でやれというのは無理だ。
絞込みと、吟味、その吟味にも変形の難しさがある。高校１年生に出題されたんだから、大学入試を見据えた演習問題なんだろう。
従って、高1で解けなくても心配する必要はない。高3で(難関大学志望なら)解ければ良い。

お礼

mister　moonlight様

素晴らしい回答ありがとうございます。重複してはいけないので、お手数ですが、♯６のお礼文をご覧ください。失礼します。

回答No.8

oremoremon

>この問題が過去問(中学入試、高校入試、大学入試)であれば、出典をお教えください。

出典ということであれば「エジプト分数」で検索してみてください。この問題はその関連問題で
入試問題や過去問以前に、古代エジプトにまでさかのぼる問題です。

少し一般化した問題
「6以上のすべての自然数nに対して、5/n = 1/a + 1/b + 1/c が自然数解を持つかどうか」
は未解決だったと思います。

この手の整数問題は、条件が少しでも変わると難易度が激変することがあります。

たとえば
5/12 = 1/a + 1/b + 1/c の解 {a, b, c} として
{3, 13, 156}, {3, 14, 84}, {3, 15, 60}, {3, 16, 48}, {3, 18, 36}, {3, 20, 30}, {3, 21, 28}, {3, 24, 24}, {4, 7, 42}, {4, 8, 24}, {4, 9, 18}, {4, 10, 15}, {4, 12, 12}, {5, 5, 60}, {5, 6, 20}, {6, 6, 12}, {6, 8, 8}
が、

5/13 = 1/a + 1/b + 1/c の解 {a, b, c} として
{3, 21, 273}, {3, 24, 104}, {3, 26, 78}, {3, 39, 39}, {4, 8, 104}

が見つかります（全部かどうかは吟味していません）

おそらく先生はそのあたりの事情もご存知の上で、5/11の場合は練習問題として手頃と判断なさったのでしょう。

参考URL：
http://www.wolframalpha.com/input/?_=1308029611018&i=Select%5bFlatten%5bTable%5b{5%2f12-1%2fa-1%2fb-1%2fc%2ca%2cb%2cc}%2c{a%2c3%2c6}%2c{b%2ca%2c100}%2c{c%2cb%2c300}%5d%2c2%5d%2c%23%5b%5b1%5d%5d%3d%3d0%26%5d&fp=1&incTime=true

http://www.wolframalpha.com/input/?_=1308029778309&i=Select%5bFlatten%5bTable%5b{5%2f13-1%2fa-1%2fb-1%2fc%2ca%2cb%2cc}%2c{a%2c3%2c6}%2c{b%2ca%2c100}%2c{c%2cb%2c300}%5d%2c2%5d%2c%23%5b%5b1%5d%5d%3d%3d0%26%5d&fp=1&incTime=true

URLが長いようですので、コピペでブラウザのアドレス欄に貼っていただければ幸いです。
（計算に時間がかかるときは「Try again with more time »」と出ます。そこをクリックすると計算続行します）

お礼

OREMOREMON様

　出典に関して、『エジプト分数』というキーワードをお教えいただき、ありがとうございます。

　単位分数分解、有理数、無理数、連分数、・・実数、虚数、有理数、無理数、整数、自然数。素数　な

　どの数学的な深みのある内容を含んでいることが分かり、講習の先生が、高一の息子を含めた生徒たち

　に、数学の楽しさや(私たち親子には、いささか苦痛ですが)興味を持たせるきっかけを、おつくりにな

　ったと思います。このようなことに気づかせていただいた、Oremoremon様とエジプト分数に感謝いた

　します。

回答No.7

chie65535

解説。

(1/a)＋(1/b)＋(1/c)＝5/11
ですので、a、b、cは３以上です。

どれか１つが1や2だとすると1/1も1/2も5/11より大きいので
(1/a)＋(1/b)＋(1/c)＝5/11
が成り立ちません。

つまり、1/a、1/b、1/cのうち、最大の値は、1/3以下です。

また、1/a、1/b、1/cのうち、最大の値は、5/33以上でなければなりません。

最大の値が5/33よりも小さい場合
(1/a)＋(1/b)＋(1/c)＜3*（5/33)
に、つまり
(1/a)＋(1/b)＋(1/c)＜5/11
になります。

(1/a)＋(1/b)＋(1/c)＜5/11
が成り立つなら
(1/a)＋(1/b)＋(1/c)＝5/11
が成り立ちません。

最大の値が5/33以上ならば、5/33＝1/6.6ですので、分母は６以下です。分母を７にしてしまうと、最大の値が5/33以上になりません。

すると、a、b、cのうちのどれか１つは「３以上６以下」になります。

仮に、1/aを最大の値と仮定すると「aは３以上６以下」と言う事になります（最大の値をどれにするかは自由。どれを選んでも同じで、a、b、cの文字が入れ替わるだけ）

aを３とした場合
(1/3)＋(1/b)＋(1/c)＝5/11
(1/b)＋(1/c)＝(5/11)-(1/3)
(1/b)＋(1/c)＝(15/33)-(11/33)
(1/b)＋(1/c)＝4/33
となります。

4/33は1/8より小さいので、1/a、1/bのうち、大きい方は1/9以下です。

大きい方は4/66以上でなければならず、分母は16以下です。

つまり、大きい方の分母は「９以上１６以下」になります。

bを９とした場合
(1/9)＋(1/c)＝4/33
(1/c)＝(4/33)-(1/9)
(1/c)＝(12/99)-(11/99)
(1/c)＝1/99
となり、a＝3、b＝9、c＝99が見付かりました。

bを１０とした場合
(1/10)＋(1/c)＝4/33
(1/c)＝(4/33)-(1/10)
(1/c)＝(40/330)-(33/330)
(1/c)＝7/330
7/330を約分しても分子は１になりませんから、bが１０の答えはありません。

bを１１とした場合
(1/11)＋(1/c)＝4/33
(1/c)＝(4/33)-(1/11)
(1/c)＝(4/33)-(3/33)
(1/c)＝1/33
となり、a＝3、b＝11、c＝33が見付かりました。

bを１２、１３、１４，１５、１６とした場合までをすべて同様に試しても、うまくいく数は１つも見付かりません。

aを３とした場合、a＝3、b＝9、c＝99とa＝3、b＝11、c＝33が見付かりました。

次に、aを４とした場合を同様に試していくと、うまくいく数は１つも見付かりません。

次に、aを５とした場合も同様に試していくと、うまくいく数は１つも見付かりません。

次に、aを６とした場合も同様に試していくと、うまくいく数は１つも見付かりません。

aは「３～６」なので、これ以上の答えは存在しないのが判ります。

結局、a、b、cの値は
a＝3、b＝9、c＝99
a＝3、b＝11、c＝33
の２組だけです。

必要なのは「応用力」のみで、レベル的には「算数」を理解していれば解け、応用力さえあれば中１で解けます。

試行（まだ答えがあるかの検証）に時間が掛かるだけで、高校１年生なら、解き方が判れば楽に解ける問題の筈です。

お礼

chie65535様

　回答ありがとうございます

回答No.6

mister_moonlight

＞私は前者の答えは理解できましたが

と、いう事は　a≧b≧c≧1 と仮定したとき、1つの解答に共通なc＝3　は理解できたのだろう。
理解できたものとして、話を進める。

1/a＋1/b＋1/c＝5/11 から、1/a＋1/b＝4/33　→　4ab＝33(a+b) →　(4a-33)*(4b-33)＝1089　。
1089＝1089×1、121×9、363×3、99×11。
a≧b≧6　から　4a-33≧-9、b-33≧-9であり、4a-33≧4b-33　4a-33＋4b-33＝4の倍数　から　(4a-33、4b-33)＝(1089、1)、(121、9)、(363、3)、(99、11)。
実際に計算すると、題意を満たすのは、(a、b)＝(33、11)、(99、9)のみ。

この問題は、大学入試だろう。少なくても、易しい問題ではない。これを30分で解けと言うのは、ちょつと大変だろう。

お礼

mister　moonlight様

　すべての条件を網羅した、素晴らしい回答をいただき、本当に感謝致します。(♯６にお礼を書きましたのは、ベストアンサーにすると♯９ではお礼を書けないと考えたからです)。問題の難易度や、講習の先生の出題意図まで回答していただき、本当にありがとうございます。文字式の部分を積の形にするのに、解答への推測の大切さを理解しました。この『　』の部分の変形に少し時間が要りました。

4ab＝33(a+b) →　『4×4ab＝4×33(a+b)　→　4×4ab　-4×33(a+b)　』＝4a-33)*(4b-33)＝1089

2組の答えがあることに初めは納得できませんでしたが、講習の先生の問題文に『答えの自然数の組は、一つとは限らない』と付記してほしかったです。一時、未知数がa,b,cの3つで、方程式は4ab＝33(a+b)の１つですから、答えの組は未定ではともおもいました。

　本当にありがとうございました。息子は、少し理解できたたようです。

回答No.5

rnakamra

a≦b≦cとすると
1/a≧1/b≧1/c
5/11=1/a+1/b+1/c≦1/a+1/a+1/a=3/a→a≦33/5
また5/11>1/a→a>11/5
この条件を満たすaの値は3,4,5,6だけである。

a=3の場合
1/3+1/b+1/c=5/11
1/b+1/c=4/33
4bc-33b-33c=0
この式を以下のように変形する。
(2b-33/2)(2c-33/2)-(33/2)^2=0
(2b-33/2)(2c-33/2)=(33/2)^2
(4b-33)(4c-33)=33^2=3^2*11^2 (上の式の両辺を4倍する)

掛け合わせて3^2*11^2になる整数の組み合わせは
(1,3^2*11^2),(3,3*11^2),(9,11^2),(11,3^2*11),(33,33)
とこれらの符号を両方ともマイナスにしたものしかない。
あとはこれらの中でb,cが整数になるものだけを選定する。

a=4,5,6の場合は全く同様に出来ます。

お礼

makamra様

　回答ありがとうございます。

回答No.4

Rice-Etude

せっかくなので、考え方を書きますので、実際に計算してみてください。

まず、便宜上a<b<cと置きます。
そうすると、aが6以上と仮定した場合、逆数の和が最大になる組み合わせは
(a,b,c)=(6,7,8)
となります（数値が大きくなるほど、逆数の値は小さくなるため）。
しかしこの場合
(1/6)+(1/7)+(1/8)<5/11
となります。よってaが6以上だとどのような組み合わせでも5/11にならないことが判明します。
またa=2の場合、その時点で逆数の和は1/2を超えてしまうので、5/11より大きいとなります。
したがって、aの候補は3,4,5の3つとなります。

次にa=3と置いて、b,cの候補を考えます。
この時、(1/b)+(1/C)=(5/11)-(1/3)=4/33
となるb,cを見つけることになります。
ここでbが17以上とすると、(1/b)+(1/C)が最大となるのはb=17,c=18なのですが、
(1/17)+(1/18)<4/33
となり、bが17以上だとどのような組み合わせでも4/33にならないことが判明します。
なのであとはbが4以上16以下で1個ずつ計算し、1/cとなっている数を見つけ出せば良いです。

同様にaが4と5でも考えてみてください。

お礼

Rice-Etude様

　回答ありがとうございます。

回答No.3

under12

これって中学生の問題でしょう。
親であれ子供であれ、分からないからと言って丸投げするのは推奨できません。
少しぐらい、試行錯誤してみてはどうでしょうか。使わないと頭は腐りますよ。

ちなみに、問題文はこれで全てですか？　省略している部分はありませんか？
答えがその2つだということは、少なくともa<b<cという条件は記載されているはずです。

回答No.2

noname#135262

まず理解できなかったという解説を載せてみたほうがよろしいかと思います
そうしないと他のサイトの解答や解説と同じような回答しかつかないかもしれません
どこが理解できなかったかを示して聞くような形にした方がベター

お礼

amenobojyou様

　貴重なアドバイス『まず理解できなかったという解説を載せてみたほうがよろしい』を、今後は考慮し、無駄のない簡潔な質問に心がけたいと思います。ありがとうございます。

回答No.1

chie65535

前者
(1/3)＋(1/11)＋(1/33)＝(11/33)＋(3/33)＋(1/33)＝15/33＝(5*3)/(11*3)＝5/11

後者
(1/3)＋(1/9)＋(1/99)＝(33/99)＋(11/99)＋(1/99)＝45/99＝(5*9)/(11*9)＝5/11