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高校生の整数問題の解説｜逆数の和とは？
chie65535の回答
- chie65535
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解説。 (1/a)＋(1/b)＋(1/c)＝5/11 ですので、a、b、cは３以上です。 どれか１つが1や2だとすると1/1も1/2も5/11より大きいので (1/a)＋(1/b)＋(1/c)＝5/11 が成り立ちません。 つまり、1/a、1/b、1/cのうち、最大の値は、1/3以下です。 また、1/a、1/b、1/cのうち、最大の値は、5/33以上でなければなりません。 最大の値が5/33よりも小さい場合 (1/a)＋(1/b)＋(1/c)＜3*（5/33) に、つまり (1/a)＋(1/b)＋(1/c)＜5/11 になります。 (1/a)＋(1/b)＋(1/c)＜5/11 が成り立つなら (1/a)＋(1/b)＋(1/c)＝5/11 が成り立ちません。 最大の値が5/33以上ならば、5/33＝1/6.6ですので、分母は６以下です。分母を７にしてしまうと、最大の値が5/33以上になりません。 すると、a、b、cのうちのどれか１つは「３以上６以下」になります。 仮に、1/aを最大の値と仮定すると「aは３以上６以下」と言う事になります（最大の値をどれにするかは自由。どれを選んでも同じで、a、b、cの文字が入れ替わるだけ） aを３とした場合 (1/3)＋(1/b)＋(1/c)＝5/11 (1/b)＋(1/c)＝(5/11)-(1/3) (1/b)＋(1/c)＝(15/33)-(11/33) (1/b)＋(1/c)＝4/33 となります。 4/33は1/8より小さいので、1/a、1/bのうち、大きい方は1/9以下です。 大きい方は4/66以上でなければならず、分母は16以下です。 つまり、大きい方の分母は「９以上１６以下」になります。 bを９とした場合 (1/9)＋(1/c)＝4/33 (1/c)＝(4/33)-(1/9) (1/c)＝(12/99)-(11/99) (1/c)＝1/99 となり、a＝3、b＝9、c＝99が見付かりました。 bを１０とした場合 (1/10)＋(1/c)＝4/33 (1/c)＝(4/33)-(1/10) (1/c)＝(40/330)-(33/330) (1/c)＝7/330 7/330を約分しても分子は１になりませんから、bが１０の答えはありません。 bを１１とした場合 (1/11)＋(1/c)＝4/33 (1/c)＝(4/33)-(1/11) (1/c)＝(4/33)-(3/33) (1/c)＝1/33 となり、a＝3、b＝11、c＝33が見付かりました。 bを１２、１３、１４，１５、１６とした場合までをすべて同様に試しても、うまくいく数は１つも見付かりません。 aを３とした場合、a＝3、b＝9、c＝99とa＝3、b＝11、c＝33が見付かりました。 次に、aを４とした場合を同様に試していくと、うまくいく数は１つも見付かりません。 次に、aを５とした場合も同様に試していくと、うまくいく数は１つも見付かりません。 次に、aを６とした場合も同様に試していくと、うまくいく数は１つも見付かりません。 aは「３～６」なので、これ以上の答えは存在しないのが判ります。 結局、a、b、cの値は a＝3、b＝9、c＝99 a＝3、b＝11、c＝33 の２組だけです。 必要なのは「応用力」のみで、レベル的には「算数」を理解していれば解け、応用力さえあれば中１で解けます。 試行（まだ答えがあるかの検証）に時間が掛かるだけで、高校１年生なら、解き方が判れば楽に解ける問題の筈です。
noname#135262
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お礼
chie65535様 回答ありがとうございます