微分積分の問題です

質問

数学の質問なんですが、全然わかりません。よろしければ途中計算も含めて
教えていただけないでしょうか。

１
ｔ時点での生産量と価格をそれぞれＸｔとＹｔで表す。いま、
価格に比例して生産量を増加させるとする。すなわち、
（d/dt）Xt=Yt とする。一方、価格は価格自身及び
生産量に比例して低下すると予測される。
すなわち、a>0,b>a^2 として、（d/dt）Yt=-2aYt-bXt
であると予測される。
Xt=e^βtcos(γt)がこれらの式をみたすように、
定数β、γを定めよ。

２
年利率ｒでの借入金a万円を、ｂ/12万円の月賦で返済し続け、
T年で完済するとする。ただし、ar<bとする。
概算のため問題を連続化すると、等式

ae^rT =∫（Tから０）be^rt dt
が得られる。この等式より、Tを｛a,b,r｝で表せ。次に、a=1000,
b=60, r=0.05のとき、返済金の形式的総額ｂTを概算せよ。
概算には log2～9/13, log3～14/13,log5～21/13
を用いよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

1
Xt=e^{βt}cos(γt)
(d/dt)Xt=βe^{βt}cos(γt)-γe^{βt}sin(γt)=Yt
(d/dt)Yt
=(β^2-γ^2)e^{βt}cos(γt)-2βγe^{βt}sin(γt)
=(-2aβ-b)e^{βt}cos(γt)+2aγe^{βt}sin(γt)=-2aYt-bXt
(β^2-γ^2+2aβ+b)cos(γt)=2(a+β)γsin(γt)

β=-a
γ=√(b-a^2)

2
ae^{rT}=∫_{0～T}be^{rt}dt
=b[e^{rt}/r]_{0～T}
=b(e^{rT}-1)/r
b=(b-ar)e^{rT}
e^{rT}=b/(b-ar)
T=[log{b/(b-ar)}]/r
a=1000
b=60
r=0.05
T=20(log2+log3)
bT=1200(log2+log3)～1200(9/13+14/13)=1200*23/13～2123