薬液の濃度を変更したいのですが、数式が分かりません

質問

ある濃度の薬液（例えば100倍液）が、25リットルあったとします。その25リットルの液を50倍液に変えたい場合、何リットルの薬剤を加えればいいのでしょうか？最初の濃度と残っている量、変更したい濃度を自在に変えられる様な数式が知りたいのですが分かりません。ある濃度の液（例えば100倍）をa、その濃度の液の残量（l）をb、新たにつくりたい濃度の液（例えば50倍液＝この量は最初の濃度の残った量とする）をc、新たに加えるべき薬剤量をX、として、式に表せないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.4

Ishiwara · ベストアンサー

数学の問題なのか、実用上の問題なのか、よく分かりません。もし数学の問題であれば、希釈倍率に関わらず、完全に溶解するという仮定が必要です。また、重量と体積の厳密な区別も必要です。しかし、実用上の問題であれば、一般に希釈率が非常に高いので、重量と体積の違いには目をつむって差し支えないでしょう。ここでは、実用上の問題だと仮定します。

(1) 濃度１％；体積２５
(2) 濃度２％；体積２５
(3) 濃度１００％；体積ｘ
(1)の(2)に対するモーメントを考えます。２５掛ける（２－１）＝２５
(3)の(2)に対するモーメントを考えます。ｘ掛ける（１００－２）＝９８ｘ
これらのモーメントが等しいとおきます。すなわち、９８ｘ＝２５
ｘ＝０.２５５（リットル）
つまり原液を２５５ミリリットル加えればよい。

モーメントとは、「部分重量」×（「総合濃度」と「部分濃度」の差）です。
つまり「部分」が「全体」に与える影響度を意味します。部分のモーメントの合計がゼロになる、というのは、力学における「力の釣り合い」の考え方であり、「異なる濃度の液体の混合」の問題は「梃子（てこ）における力の釣り合い」の問題と本質的に同じものです。
難しい考え方を持ち出してすみませんが、とても役に立つ方法です。

いろいろな場合に使える「公式」にするならば、
(1) 濃度ａ％；体積ｂ
(2) 濃度ｃ％；体積ｂ＋ｘ
(3) 濃度１００％；体積ｘ
（ｃ－ａ）ｂ＝（１００－ｃ）ｘ
ｘ＝ｂ（ｃ－ａ）/（１００－ｃ）
でいいのではないでしょうか。

お礼

分かりやすく説明して頂きよく理解できました。ありがとうございました。

回答No.3

gohtraw

＃１です。＃２さんと私は異なることを言っているので、解説しておきます。
　＃２さんは「濃度」を一般的によくつかわれる定義、つまり薬剤の量／溶液の量という意味で使用されています。だから濃度１００を５０にするには水を加えて薄めなさいということになります。
　一方私はご質問の記載から「濃度」という言葉が（この問題に関する限り）「希釈倍率」を意味しているのだと解釈しています。つまり１００倍液は原液を１００倍に希釈したものであり、これを５０倍液にするには原液を加えなさいと言っています。

お礼

回答ありがとうございます。仰せの通り、原液を加える話です。同じ質問でもとらえかたが色々あるということも学びました。

回答No.2

atomonados

濃度というのは割合のことです。割合というのは全体の量に対する部分の量です。式で表すと，

　割合＝部分の量／全体の量

です。割合と全体の量は反比例します。　反比例とは，一方の値が２倍，３倍になると，他方の値が，１／２倍，１／３倍となる関係（逆比の関係）です。

　ご質問では，濃度と全体の量が反比例の関係になりまます。濃度を５０／１００倍（1/2倍）にしたいわけですから，全体の量を，その逆数である１００／５０倍（2倍）します。今，全体の量は２５リットルですから，全体を２５×（１００／５０）＝５０リットルにすればよいです。このとき，加えるのは水溶液なら純水です。この純水の量については考える必要はありませんが，５０－２５＝25リットルです。

　この操作を，一般的な式で表すと，

　x＝b×（a／c）－ｂ・・・・・・・・(A)

です。

あるいは最初の式にあてはめて，

　c=部分の量（溶質の量）／（b＋x）

両辺に（b＋x）をかけて分母を払うと，

　c×（b＋x）=部分の量（溶質の量）・・・・・(1)

これは作りたいほうの溶液でした。順序が逆かもしれませんが，同じことをもとの溶液の場合でしますと，

　a=部分の量（溶質の量）／b

両辺にbをかけて分母を払うと，

　a×b=部分の量（溶質の量）・・・・・(2)

(1)と(2)は等しいですから，

　c×（b＋x）＝a×b　

両辺をcで割ります。

　　　　b＋x　＝a×b／ｃ　

l両辺からbを引きます。

　　　　　　x　＝a×b／ｃ－b　

(A)と同じ式が導かれました。以上です。

お礼

理路整然としていて大変分かりやすい内容です。ありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

濃度が体積基準で、薬液と水を混合した場合の体積が、単純に両者の体積の和であるという前提で。
濃度ａ（１００倍液だとするとａ＝１００）の薬液がｂリットルあるとき、その中に含まれる薬剤の体積は
ｂ／ａです。この薬液にｘの薬剤を加えると、薬液中に含まれる薬剤の量はｂ／ａ＋ｘになります。また、薬液全体の体積はｂ＋ｘなので、その濃度は（ｂ＋ｘ）／（ｂ／ａ＋ｘ）です。よって
ｃ＝（ｂ＋ｘ）／（ｂ／ａ＋ｘ）
となります。

従ってａ＝１００、ｂ＝２５、ｃ＝５０おいて
５０＝（２５＋ｘ）／（０．２５＋ｘ）
１２．５＋５０ｘ＝２５＋ｘ
４９ｘ＝１２．５

お礼

回答ありがとうございました。理屈を式に表すのはなかなか難しいものですが、頭を整理しながら考えると分かるような気がします。