問題集の解答を確かめてもらえませんか。

質問

（１）tanh(arcsinhx)
（２）tanh(arccoshx)
（３）sinh(arctanhx)
（４）cosh(arctanhx)

という問題なのですが、付属の解答には、
(1)x/√(1-x^2)
(2)√(1+x^2)/x
(3)1/√(1-x^2)
(4)x/√(1-x^2)

とあります。
私は計算すると、

(1)x/√(1+x^2)
(2)√(-1+x^2)/x
(3)x/√(1-x^2)
(4)1/√(1-x^2)

になります。私の計算ミスか、解答が間違っているのか、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

四つとも、貴方の方が合っています。

回答No.5

alice_44

あまりに読みにくいので、ちゃんと校正しておく。↓

arccosh, tanh を実関数と考えるなら、tanh(arccosh(x)) の定義域は
実関数 cosh の値域 [1,∞) であるべきで、x < 1 は代入できない。

tanh(arccosh(x)) に x < 1 が代入可能と考えるなら、arccosh(x) は
虚数値となるのだから、arccosh, tanh を複素関数として扱っている
と見るべきで、tanh(arccosh(x)) は多価関数 ±(√(x^2-1))/x となる。

定義域を限定して一意化するにしても、枝の選択には初期条件等が必要で、
arccosh, tanh を複素関数としながら、tanh(arccosh(x)) は実関数とし、
しかも x < 1 での枝を勝手に -(√(x^2-1))/x と選ぶことを
正当化できる理由は何も無いと思う。

回答No.4

alice_44

あ、書き違い。
A No.3 文中の sinh は、cosh の誤記。Sorry.
内容的には cosh の話を書いた。
認知症かな？私

回答No.3

alice_44

(2) どうかなあ？
無理をすれば A No.2 のように言えないこともないけれど、
不自然な感じは否めない。

arcsinh, tanh を実関数と考えるなら、tanh(arcsinh(x)) の定義域は
実関数 sinh の値域 [1,∞) であるべきで、x < 1 は代入できない。

tanh(arcsinh(x)) に x < 1 が代入可能と考えるなら、arcsinh(x) は
虚数値となるのだから、arcsinh, tanh を複素関数として扱っている
と見るべきで、tanh(arcsinh(x)) は多価関数 ±(√(x^2-1))/x となる。

定義域を限定して一意化するにしても、枝の選択には初期条件等が必要で、
arcsinh, tanh を複素関数としながら、tanh(arcsinh(x)) は実関数とし、
しかも x < 1 での枝を勝手に -(√(x^2-1))/x と選ぶことを正当化できる
理由は何も無いと思う。

定義域の拡張など、発展的な内容を考える際には、発展に関する基礎事項
(この場合は、複素関数論の初歩)を多少勉強してから行ったほうがよい。

回答No.2

info22_

問題が「式を簡単にする問題」なのか「逆関数を求める問題」なのか？
どちらですか？

前者なら
(1)tanh(arcsinhx)=x/√(1+x^2) (定義域x:-∞～∞)
質問者の計算で合っている。

(2)tanh(arccoshx)=√(-1+x^2)/x　
質問者の計算は（定義域x≧1)でなら合っている。

（定義域x≦-1)でなら「tanh(arccoshx)=-√(-1+x^2)/x」となる。
質問者の計算も解答も間違い。

定義域をまとめると　
(定義域|x|≧1でなら「tanh(arccoshx)=√(-1+x^2)/|x|」となる。
これが正解。

(3)sinh(arctanhx)=x/√(1-x^2)　(定義域x:-1～1)
合っている。
質問者の計算で合っている。

(4)cosh(arctanhx)=1/√(1-x^2) 　(定義域x:-1～1)
合っている。
質問者の計算で合っている。