- ベストアンサー
三角関数
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
双曲線関数の定義はご存知ですか。 sinh x = (e^x - e^-x) / 2 cosh x = (e^x + e^-x) / 2 ですから、cosh^2 x - sinh^2 x = 1です。 （２乗したものを足しても１にはなりません）
その他の回答 (1)
- graffities
- ベストアンサー率25% (10/39)
coshx=(e^x+e^(-x))/2 sinhx=(e^x-e^(-x))/2ですから、 (coshx)^2-(sinhx)^2=1となります。
お礼
早い回答、ありがとうございました(^^)
関連するQ&A
- 複素関数cos(z)の微分について
w=u+iv=cos(z)とおいたときに，wがzの全域でコーシー・リーマン方程式（∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x）を満たすことを示し，微分係数を求めよ．（z=x+iy，iは虚数単位） と言う問題です． 解答を見てみると， cos(z)=cos(x)cosh(y)-isin(x)sinh(y) の加法定理の関係式を使い， u=cos(x)cosh(y) v=-sin(x)sinh(y) したがって， ・∂u/∂x=-sin(x)cosh(y) ・∂u/∂y=cos(x)sinh(y)・・・I ・∂v/∂x=-cos(x)sinh(y) ・∂v/∂y=-sin(x)cosh(y)・・・II よって，コーシー・リーマン方程式を満たしている． となっていました． 疑問なのは，複素関数cos(z)の微分について調べているのに，IとIIでそれぞれcosh(y)，sinh(y)の微分をしていることです． cosh(y)=cos(iy)，isinh(y)=sin(iy) なので，これも複素関数の微分となり，ここでは使ってはいけないのではないのでしょうか？ ほかの方法があれば教えてください．また， {cosh(y)}'=sinh(y)，{sinh(y)}'=cosh(y) となる理由もよろしくお願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素数を含む三角関数方程式の問題
皆さんよろしくお願いいたします。 zは複素数でa>0,b>0,k>0のとき (a+b)・√z・cosh(k√z)-(ab・z+1)・sinh(k√z)=0 を満たすzを求めよという問題です。 coshとsinhを指数に変えたり、cosやsinへの変換を行ってますが、解けません。 ご存知の方、よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 三角関数の導関数
いつもお世話になっています。 三角関数の導関数のところで lim{sin(x+h) - sin(x)}/h = lim{2cos(x+h/2)sin(h/2)}/h = lim{cos(x+h/2)sin(h/2)}/(h/2) のように変形して、h→0 のとき cos(x+h/2) → cosx sin(h/2)/(h/2) → 1 として求めていました。 ここで質問なのですが lim(○△) = lim○lim△ のようなことをしてもよいのでしょうか？ あと h→0 のときに sinh/h → 1 となる証明は http://osaka.cool.ne.jp/economia/math/math4.pdf のページ等で図形を使うものを見つけて大体納得できたのですが、 cos(x) < sin(x)/x < 1 まできたところで、x→0 のとき cos(x)→1 とやっています。 最後のところですごく感覚的になった気がするのですが、 これは式で証明しなくてよいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の導関数
sin'=lim((sin(x+h)-sin(x))/h) =lim((2*cos(x+h/2)sin(h/2))/h) =lim(cos(x+h/2)*2*(sin(h/2)/h)) =lim(cos(x+h/2)*(sin(h/2)/(h/2))) =cosx という、sinの導関数の求め方があります。 (手元に、数学IIIの検定教科書が3冊ありますが、どれを見てもこの方法で証明していました。) ところで、この sin'=lim((sin(x+h)-sin(x))/h) =lim((2*cos(x+h/2)sin(h/2))/h) の部分が全く理解できません。 4時間ほどこの式変形をしようと苦闘しましたが、できませんでした。 多少遠回りをして、 (sinx)'=lim(sinx(cosh-1)/h+cosxsinh/h)=cosx なら、わりとすぐに証明できたのですが、(30分くらい?) 上記の方法は式変形の方法すら思いつきませんし、そのための手がかりも全く思いつきません。 高校生が皆理解できるということは、さぞカンタンな変形なのだろうと思いますが…どうやれば、このような式変形ができるのでしょうか? 詳しくご教授願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 双曲線関数の積分（ハイパボリック）
√(4x^2-1)の積分を双曲線関数を使って解くことができるらしいのですが、躓いています。1/√(4x^2-1)なら1/2cosh^-1(2x)と簡単に表せるのですが… どなたか教えてくださいませんか？お願いします。 ちなみに cosh(2x)=cosh^2(x)+sinh^2(x)=2cosh^2(x)-1=1+2sinh^2(x) 以上の公式は授業で教わっています。 使えるような気がするのですがどうでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 双曲線関数の図形的“意味”
三角関数 cos(t), sin(t) は、円のパラメータで、単位円の半径を斜辺とする直角三角形を描けば、cos^2(t) + sin^2(t) = 1 の関係式もすぐに読み取れます。cos(x+t), sin(x+t) で、角度 t の回転を表すこともできます。 ここで、双曲関数 cosh(t), sinh(t) は、双曲線のパラメータであることはわかるのですが、図形的に t とは“何”を示しているのでしょうか（三角関数でいうところの回転角にあたるもの）。変換が、座標を漸近線の方向にぎゅーっと引っ張って縮めていることも理解できるのですが、その動きのどこに t が表れてくるのかがわかりません。cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1 の 1 も、一般的な三角関数の図解と同様に図示しても、見えてきません。 三角関数と双曲関数とを対比させ、同じように図形的に理解する方法はないでしょうか。Wiki や WolframMathWorld も検索したのですが、ヒントが得られませんでした。 うまく説明できていないかもしれませんので、適宜補足要求をいただければ幸いです。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数
よろしくお願いいたします。 0 ＜θ＜π/2とする。 sinθ-cosθ=1/2のとき、sin2θ=3/4, さてtanθ=？ という問題です。 解答は、 2sinθcosθ=3/4の両辺をcosθ^2で割って整理すると 2tanθ=1/cosθ^2=1+tanθ^2であるからＸ＝tanθとおくと、 3X^2-8X+3=0よりＸ＝４±√7・・・※ ここで 0 ＜θ＜π/2かつsinθ-cosθ=1/2>0よりX-1>0であるから、 Ｘ＝４+√7 ※までは理解できたのですが、そこからしぼりこむところが疑問です。解答はここまでしか書いていないのですが、そんな単純なことなのでしょうか。どうしてX-1>0といえるのでしょうか。 Ｘ＝４-√7はだいたい4 – 2.6くらいでしょうか。sinθ-cosθ=√２sin θ(θ-π/4)=1/2など変形してみたのですが、それ以上前に進めませんでした。勉強不足ですが、どなたかアドバイスをお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
安易に考えすぎてました。 双曲線関数で確かめればよかったのですね・・・ 回答ありがとうございました(^^)。