マクロの問題です

質問

家計の効用関数 U=u(C1)+1/1+p×u(C2)と予算制約式　I=C1+1/1+rC2とします。
このとき効用関数を最大にするようなC1とC2をもとめます。二つの式をあわせて、Ｃ１だけの式
V(C1)=u(C1)+1/1+p×u[(I-C1)(1+r)]にします。このとき、効用最大化条件はＶ’（Ｃ１）＝０になると教科書に書いているのですが、どうしてなのかわかりません。だれか解説お願いします。

回答No.1

thebiggestdark · ベストアンサー

ミクロ頻出の２期間における効用最大化問題ですね。
解き方は、ラグランジュ乗数法か予算制約を変形し変数を減らす方法が多いですね。

まず、これを数式で表すと以下のようになります。

max U=u(C1)+(1/1+ρ)u(C2),
s.t. I=C1+C2/1+r

まず、予算制約式を変形し2期目の消費を求めると、

I=C1+C2/1+r⇔C2=(1+r)(I-C1)

これを、効用関数に代入し、

V(C1)=u(C1)+(1/1+ρ)u{(1+r)(I-C1)}
⇔V(C1)=u(C1)+(1/1+ρ)u{I(1+r)-C1(1+r))}

ここまでは、解かれている通りかと。

さて、ここで紛らわしいのは　u(C1)　の関数形が特定できていないことですかね。
関数形が分からないのに、微分をする意味は何なんだと。

ここで、基本に戻ります。
効用最大化問題は、予算制約式に無差別曲線が接していることです。
つまり、予算制約式はC2を縦軸、C1を横軸に取ると直線になります。
ここで、効用関数の形が分からなくてもとにかく無差別曲線との接点です。
そして、予算制約式を変形し効用関数に代入したのですから、接点を求めようとしている訳です。

ここで本来であれば微分とは厳密な数学の概念…となりますが、経済の問題なので省きましょう。
微分とはグラフの傾きを求めるもので十分です。

接点を求める式を微分すれば、傾き＝0という訳でこれが効用最大化条件ということになります。

かなり、直感的に理解できるように書いてみたので経済数学の厳密な話になっていないことをお許しください。