訂正しました。教えてください

質問

x1,x2,x3を未知変数とする連立方程式(A)
Σ[j=1～3]aijxj+ai4=0 , i=1,2,3,4を考える。ここでaij∈Ｒ

aij=(-1)^(i+j)のときこの連立方程式(A)の解をすべて求めなさい

ai1=1, ai2=(-1)^i, ai3=u^(i-1) (1≦i≦4)およびa14=a24=a34=1, a44=uの時この連立方程式(A)が解をもつような実数u
の値をすべて決定しなさい。

という問題です。よろしくお願いします＾＾

回答No.6

muturajcp · ベストアンサー

aij=(-1)^(i+j)のとき
連立方程式は
x1-x2+x3=1
となるから
x3=1-x1+x2
x=(x1,x2,x3)
=(x1,x2,1-x1+x2)
∴(A)の解は
x=(0,0,1)+x1(1,0,-1)+x2(0,1,1),({x1,x2}⊂R)

x=t(x1,x2,x3,1)
H=
(a11,a12,a13,a14)
(a21,a22,a23,a24)
(a31,a32,a33,a34)
(a41,a42,a43,a44)
とすると
Hx=0
|H|≠0とするとH^{-1}が存在し,H^{-1}Hx=x=0
(x1,x2,x3,1)=(0,0,0,0)となって矛盾するから
(A)は解をもたない
∴(A)が解をもてば
|H|=0

|H|=
|1,-1,1,1|
|1,1,u,1|
|1,-1,u^2,1|
|1,1,u^3,u|
=2(u^2-1)(u-1)=0
∴
u=±1

u=1のとき

x1-x2+x3=-1
x1+x2+x3=-1
2x1+2x3=-2
x1+x3=-1
x2=0
x3=-x1-1
x=(x1,x2,x3)
=(x1,0,-x1-1)
=(0,0,-1)+(x1,0,-x1)
(A)の解は
x=(0,0,-1)+x1(1,0,-1),(x1∈R)

u=-1のとき
x1-x2+x3=-1
x1+x2-x3=-1
x1=-1
x2=x3
x=(x1,x2,x3)
=(-1,x2,x2)
=(-1,0,0)+(0,x2,x2)
(A)の解は
x=(-1,0,0)+x2(0,1,1),(x2∈R)

回答No.5

alice_44

質問者自身
＞ 回答しないでほしいです。
…とのことなので、問題の解答は書かない。

＞ 丸投げするほどバカではないですよ。
＞ 理学部数学科なんで、考えていますよ自分でも!!
…という水準に合わせたヒントを書いておく。

＞ x1,x2,x3,すべて消えてしまったのです。
…となった瞬間に、方程式の rank を求めてみるべき。
答えの値以前に、解空間の構造を把握することが大切だからだ。
非正則なら、直ちに階数を求める。常識範囲の作業と思う。
具体的な答えは、掃き出し法を実行するだけで出てくる。

このくらい説明して、あとは自力で解決できないようでは、
理学部数学科ではやっていけないでしょう。　黙祷

回答No.4

mister_moonlight

どうでも良いことなんだが、丸投げは“現在は”禁止されていない。

http://faq.okwave.jp/EokpControl?&tid=950130&event=FE0006

丸投げを非難するなら、解答しなければいいだけ。
それを、ここで“ごちゃ、ごちゃ”言う必要はない。
質問者も回答者も、利用の仕方は一様ではない。
それが嫌なら、係らなければ良いだけ。

補足

そうですよね＾＾

回答しないでほしいです。

回答No.3

Tacosan

#3 で「どこからどう見ても丸投げだよね, これ」って書いた意味が分かってないような感じがするんだが.... 「一度解い」て「x1,x2,x3,すべて消えてしまったのです。」というなら, それを質問文に書いておけばよかったのにねぇ. そうすれば「aicezukiみたい」といわれることもなければ「どこからどう見ても丸投げだよね, これ」と書かれることもなかっただろうに.

で, 変数が全部消えたってことは underconstraint だってこと. 方程式
x + y = 0
のすべての解を求めることはできますか?

お礼

(x,y)=k(1,-1) ただしkは任意の実数が答えですか？

補足

一度解いてから人に聞くのが普通だと思ったんで・・・書かなかったんです＾＾

回答No.2

Tacosan

ん～, #1 で「aicezukiみたい」っていうのもわかる気がする. どこからどう見ても丸投げだよね, これ.

「連立方程式」って分かってるなら「変数を減らす」くらいは方針として立たないか?

お礼

変数を減らすみたいな初歩的なことぐらい誰でも思いつくんじゃないのか？
そんなことも思いつかないようじゃ、大学でやっていけないでしょう。しかも理学部数学科で。

補足

一度解きました。

x1,x2,x3,すべて消えてしまったのです。
以下に答えてもらったように。丸投げするほどバカではないですよ。理学部数学科なんで、考えていますよ自分でも!!

回答No.1

puusannya

大学２年生と書かれていましたので、あまり詳しくは書かなくてもいいと思います。
が、残念ながら前半が解けません。確かめてみてください。

まずΣを使わず+を使って表すと
ai1x1+ai2x2+ai3x3+ai4=0　となりませんか。
このiに順に１,２,３,４を代入すると、連立方程式が出来上がると思うのですが、

前半は　aijはi+jが偶数なら＋１、奇数ならー１ですから
４式とも　x1-x2+x3-1=0　となってしまいませんか。
解けないんです。

後半は　aの定義通り代入するとすると
x1-x2+x3+1=0・・・・・(1)
x1+x2+ux3+1=0 ・・・・(2)
x1-x2+u^2x3+1=0・・・(3)
x1+x2+u^3x3+u=0・・・(4)
という連立方程式がたって加減法で
たとえば　（u-1）（(u+1)^2x3+1)）＝０　がでます。
これが解を持たなければならないので、ｕ≠±１
となります。これでuの値をすべて求めたということになるのでしょうか。

いろいろ申し上げましたが、この程度にしかできませんでした。すみません。