任意の(a,b)∈X_1×X_2⊂Wに対して
(a,b)∈U(a,b)×V(a,b)⊂W
U(a,b)∈O_1,V(a,b)∈O_2となる
U(a,b),V(a,b)が存在する
(U(a,b),V(a,b)は(a,b)に関係(依存)するのでこう表記する)
X_1⊂∪_{a∈X_1}U(a,b)
だから
{U(a,b)}_{a∈X_1}はX_1の開被覆となる
X_1はコンパクトだから
{a(k,b)}_{k=1~n_b}⊂X_1が存在して
X_1⊂∪_{k=1~n_b}U(a(k,b),b)
となる
(n_b,a(k,b)はbに関係(依存)するのでこう表記する)
V_b=∩_{k=1~n_b}V(a(k,b),b)
とすると
X_2⊂∪_{b∈X_2}V_b
だから
{V_b}_{b∈X_2}はX_2の開被覆となる
X_2はコンパクトだから
{b_j}_{j=1~m}⊂X_2が存在して
X_2⊂∪_{j=1~m}V_{b_j}
となる
U_2=∪_{j=1~m}V_{b_j}
U_1=∩_{j=1~m}∪_{k=1~n_b_j}U(a(k,b_j),b_j)
とすると
X_2⊂U_2=∪_{j=1~m}V_{b_j}
となり
任意のb_jに対して
X_1⊂∪_{k=1~n_b_j}U(a(k,b_j),b_j)
だから
X_1⊂U_1
となり
X_1×X_2⊂U_1×U_2
となる
(x,y)∈U_1×U_2とすると
y∈U_2=∪_{j=1~m}V_{b_j}
y∈V_{b_j}=∩_{k=1~n_b_j}V(a(k,b_j),b_j)
となるb_jがある
x∈U_1=∩_{j=1~m}∪_{k=1~n_b_j}U(a(k,b_j),b_j)
x∈∪_{k=1~n_b_j}U(a(k,b_j),b_j)
x∈U(a(k,b_j),b_j)
となるkがある
y∈V(a(k,b_j),b_j)
(x,y)∈U(a(k,b_j),b_j)×V(a(k,b_j),b_j)⊂W
∴
X_1×X_2⊂U_1×U_2⊂W
お礼
回答ありがとうございます。 コンパクト性がどこで効いてくるのか全く見当もつかず、 困っていたのですが、この証明でようやく分かりました。