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直積位相空間について

以下の命題の証明の仕方が分かりません。 「(A_1, O_1), (A_2, O_2): 二つの位相空間, (A_1×A_2, O): (A_1, O_1) と (A_2, O_2) の直積位相空間, X_1⊆A_1, X_2⊆A_2, X_1 と X_2 は共にコンパクト, W∈O s.t. (X_1×X_2)⊆W であるとき、 ある U_1∈O_1, U_2∈O_2 で、 X_1⊆U_1, X_2⊆U_2, (U_1×U_2)⊆W を満たすものが存在する」 証明の方針だけでも教えて頂けないでしょうか。 よろしくお願いします。

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  • muturajcp
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回答No.3

任意の(a,b)∈X_1×X_2⊂Wに対して (a,b)∈U(a,b)×V(a,b)⊂W U(a,b)∈O_1,V(a,b)∈O_2となる U(a,b),V(a,b)が存在する (U(a,b),V(a,b)は(a,b)に関係(依存)するのでこう表記する) X_1⊂∪_{a∈X_1}U(a,b) だから {U(a,b)}_{a∈X_1}はX_1の開被覆となる X_1はコンパクトだから {a(k,b)}_{k=1~n_b}⊂X_1が存在して X_1⊂∪_{k=1~n_b}U(a(k,b),b) となる (n_b,a(k,b)はbに関係(依存)するのでこう表記する) V_b=∩_{k=1~n_b}V(a(k,b),b) とすると X_2⊂∪_{b∈X_2}V_b だから {V_b}_{b∈X_2}はX_2の開被覆となる X_2はコンパクトだから {b_j}_{j=1~m}⊂X_2が存在して X_2⊂∪_{j=1~m}V_{b_j} となる U_2=∪_{j=1~m}V_{b_j} U_1=∩_{j=1~m}∪_{k=1~n_b_j}U(a(k,b_j),b_j) とすると X_2⊂U_2=∪_{j=1~m}V_{b_j} となり 任意のb_jに対して X_1⊂∪_{k=1~n_b_j}U(a(k,b_j),b_j) だから X_1⊂U_1 となり X_1×X_2⊂U_1×U_2 となる (x,y)∈U_1×U_2とすると y∈U_2=∪_{j=1~m}V_{b_j} y∈V_{b_j}=∩_{k=1~n_b_j}V(a(k,b_j),b_j) となるb_jがある x∈U_1=∩_{j=1~m}∪_{k=1~n_b_j}U(a(k,b_j),b_j) x∈∪_{k=1~n_b_j}U(a(k,b_j),b_j) x∈U(a(k,b_j),b_j) となるkがある y∈V(a(k,b_j),b_j) (x,y)∈U(a(k,b_j),b_j)×V(a(k,b_j),b_j)⊂W ∴ X_1×X_2⊂U_1×U_2⊂W

ftg
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 コンパクト性がどこで効いてくるのか全く見当もつかず、 困っていたのですが、この証明でようやく分かりました。

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その他の回答 (2)

回答No.2

積位相について、以下の命題が成り立ちます。 WをA_1×A_2の開集合とすると、任意の(x,y)⊂Wに対して、xの開近傍Uとyの開近傍Vが存在して、U×V⊂Wとなる これと、X_1とX_2がコンパクトであることを用いると解けると思います。

ftg
質問者

お礼

回答ありがとうございます。

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  • koko_u_u
  • ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.1

>証明の方針だけ X_1、X_2がコンパクトであることを使用する。

ftg
質問者

お礼

回答ありがとうございます。

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