- ベストアンサー
直積位相空間について
以下の命題の証明の仕方が分かりません。 「(A_1, O_1), (A_2, O_2): 二つの位相空間, (A_1×A_2, O): (A_1, O_1) と (A_2, O_2) の直積位相空間, X_1⊆A_1, X_2⊆A_2, X_1 と X_2 は共にコンパクト, W∈O s.t. (X_1×X_2)⊆W であるとき、 ある U_1∈O_1, U_2∈O_2 で、 X_1⊆U_1, X_2⊆U_2, (U_1×U_2)⊆W を満たすものが存在する」 証明の方針だけでも教えて頂けないでしょうか。 よろしくお願いします。
- ftg
- お礼率62% (5/8)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
任意の(a,b)∈X_1×X_2⊂Wに対して (a,b)∈U(a,b)×V(a,b)⊂W U(a,b)∈O_1,V(a,b)∈O_2となる U(a,b),V(a,b)が存在する (U(a,b),V(a,b)は(a,b)に関係(依存)するのでこう表記する) X_1⊂∪_{a∈X_1}U(a,b) だから {U(a,b)}_{a∈X_1}はX_1の開被覆となる X_1はコンパクトだから {a(k,b)}_{k=1～n_b}⊂X_1が存在して X_1⊂∪_{k=1～n_b}U(a(k,b),b) となる (n_b,a(k,b)はbに関係(依存)するのでこう表記する) V_b=∩_{k=1～n_b}V(a(k,b),b) とすると X_2⊂∪_{b∈X_2}V_b だから {V_b}_{b∈X_2}はX_2の開被覆となる X_2はコンパクトだから {b_j}_{j=1～m}⊂X_2が存在して X_2⊂∪_{j=1～m}V_{b_j} となる U_2=∪_{j=1～m}V_{b_j} U_1=∩_{j=1～m}∪_{k=1～n_b_j}U(a(k,b_j),b_j) とすると X_2⊂U_2=∪_{j=1～m}V_{b_j} となり 任意のb_jに対して X_1⊂∪_{k=1～n_b_j}U(a(k,b_j),b_j) だから X_1⊂U_1 となり X_1×X_2⊂U_1×U_2 となる (x,y)∈U_1×U_2とすると y∈U_2=∪_{j=1～m}V_{b_j} y∈V_{b_j}=∩_{k=1～n_b_j}V(a(k,b_j),b_j) となるb_jがある x∈U_1=∩_{j=1～m}∪_{k=1～n_b_j}U(a(k,b_j),b_j) x∈∪_{k=1～n_b_j}U(a(k,b_j),b_j) x∈U(a(k,b_j),b_j) となるkがある y∈V(a(k,b_j),b_j) (x,y)∈U(a(k,b_j),b_j)×V(a(k,b_j),b_j)⊂W ∴ X_1×X_2⊂U_1×U_2⊂W
その他の回答 (2)
- sphere_aki
- ベストアンサー率25% (1/4)
積位相について、以下の命題が成り立ちます。 WをA_1×A_2の開集合とすると、任意の(x,y)⊂Wに対して、xの開近傍Uとyの開近傍Vが存在して、U×V⊂Wとなる これと、X_1とX_2がコンパクトであることを用いると解けると思います。
お礼
回答ありがとうございます。
関連するQ&A
- 直積位相
Ｘ、Ｙを位相空間とする。 『Ｗ⊂Ｘ×ＹがＸ×Ｙの開集合⇔任意の(ｘ，ｙ)∈Ｗに対して、ｘ∈ＸのＸにおける開近傍Ｕ⊂Ｘ、ｙ∈ＹのＹにおける開近傍Ｖ⊂ＹでＵ×Ｖ⊂Ｗとなるものが取れる』 と定義することにより、Ｘ×Ｙは位相空間になる事を示せ。 という問題です。 Ｘ、Ｙが位相空間なので、それぞれの位相をＯ(Ｘ)、Ｏ(Ｙ)としてＸ×Ｙの位相をＯ(Ｘ×Ｙ)=｛Ｕλ×Ｖλ；Ｕλ∈Ｏ（Ｘ）、Ｖλ∈Ｏ（Ｙ）｝とおいて証明しようとしたのですが、これでは上記の定義が満たされていないと注意され詰まってしましました。 どなたかアドバイス（もしくは証明）していただけませんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直積位相定義が2個の直積の場合に合致してるか?
直積位相の定義についての質問です。 [定義ア]位相空間(X_λ,T_λ) (λ∈Λ(Λは任意の添数集合))と射影fが与えられていて,直積集合P:=ΠX_λとおく。 この時,X_λ⊃{f_λ^-1(t_λ)∈2^P;t_λ∈T_λ}=:S_λをf_λによって誘導される(X_λ,T_λ)の位相と呼ぶ。 次に和集合B:=∪S_λと置き, この時,このBから生成される位相{U∈2^P;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U} を直積集合Pの直積位相と呼ぶ。 が直積位相の定義だと思います。 [定義イ]2個の直積(X_1,T_1)×(X_2,T_2)の場合の直積位相は{∪[g∈G]g ;G⊂T_1×T_2}と載ってました。 [定義ウ]集合Xの部分集合族Bが以下の条件を満たすときBをXの開基という (1)BはXを被覆する (2)任意のb1,b2∈Bおよび任意のx∈b1∩b2に対して、あるb∈Bが存在して、x∈b⊂b1∩b2となる。 [定義エ] Bを集合Xの開基とする時,{U∈2^X;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}をBによって生成される位相という。 そこで定義アの直積位相定義が2個の直積の場合に定義イと合致してるか調べています。 まずS_1={f_1^-1(t_1);t_1∈T_1},S_2={f_2^-1(t_2);t_2∈T_2}でB:=S_1∪S_2と置く。 そしてこのBによって生成される位相は{U∈2^(X_1×X_2);∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}:=L これが{∪[g∈G]g;G⊂T_1×T_2}:=Mに一致してるか吟味してみます。 (i) L⊂Mを示す。 ∀U∈Lを採ると,∀x∈Uに対してx∈b⊂Uなるb∈Bが存在する。 Bの定義よりb={f_1^-1(t_1),f_2^-1(t_2)}という集合になっています。 そこで結局の所,Uは常にbを含んでいなければならない訳ですからU=∪[b∈B']b (但しB'⊂B)…(1)となっていますよね。 所でBの元達はというとB:=S_1∪S_2な訳ですから(1)は U={(t_1×x_2)∪(x_1×t_2);x_1⊂X_1,x_2⊂X_2}という形になってますよね。 ここでx_1やx_2は必ずしもT_1やT_2の元とは限らないわけですよね。 なのでこのUは∪[g∈G]g;G⊂T_1×T_2には含まれませんよね。 どうすればLとMが合致しますでしょうか? それとも直積位相は2個の直積集合の場合と3個以上の直積集合の場合とでのそれぞれ直積位相の概念は異なるのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 位相空間論について質問です。来週、大学で位相空間論のテストがあります。
位相空間論について質問です。来週、大学で位相空間論のテストがあります。一通り学習範囲を終え、ある程度の基本問題も解け、仕上げの段階に近づいてきました。昨年、必修で単位を落としてしまい、今年は猛勉強して間違えてなかったとテスト前の今の段階でさえ思います。（それだけ私にとっては苦手とする難しい分野なのです。）なので、今回は、一度解いた問題を別の切り口から見れないか？（別解はないか？）ということで、質問します。例えば、「コンパクト集合の直積はコンパクトであることを証明せよ」という問いに対し、私は「（X,Ox),(Y,Oy)を位相空間とし、A⊂X,B⊂Y（ともにコンパクト集合）。直積空間（X*Y,Ox*Oy)において、その部分集合A*Bはコンパクトであること」を示し、A=X,B=Yのような流れで行きます。他に証明のアプローチがありましたら、どうか教えて下さい。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位相空間の同相について
位相空間(X,Ox)と(Y,Oy)で、全単射f:X→Yに対して、ｆおよび逆写像f^(-1)がともに連続であるときｆを位相写像といい、f:X→Yなる位相写像が存在するとき、(X,Ox)と(Y,Oy)は同相（同位相）であるというのでした。 位相空間（X,Ox）に対し、直積空間X×Xに適当な位相O’を入れたとき、 （X×X , O'）と元の位相空間（X,Ox)は同相ではないと思うのですが、証明はどのようにしたらいいでしょうか。 位相写像が存在しない、ということを言えばいいと思いますが、存在しない、ということをどのように示したらいいのかがわかりません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 以下の位相空間の証明問題が分かりません…
以下の位相空間の証明問題が分かりません… Xは二つの位相O、O’についてコンパクトかつHausdorff空間であるとする。このとき、O＝O’または、OとO’は比較不可能(すなわちO’⊂OでもO⊂O’でもない)であることを示せ。 わかる方教えてください…！お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 何が箱位相と直積位相でのR^ωのR^∞の閉包か?
R^∞はR^ω(R^ωはRの可算個の直積集合)の部分集合でやがて0になる数列{x_n}(有限個の項は非零)全体からなる集合とする時,何が箱位相と直積位相でのR^ωのR^∞の閉包か? 正解はR＾∞ の箱位相と直積位相における閉包を夫々A,Bとすると A=R^∞,B=R^ωのようです。 R^ωの直積位相T_pはTをRの通常の位相とすると S:=∪[λ∈Λ]{π_λ^-1(U_λ);U_λ∈T} (Λは可算な添数集合,π_λは射影) とするとこのSはR^ω上の準開基をなし, B:={∩[s∈S']s;S'⊂S,S'は有限集合}はR^ω上の開基をなし、 これから生成される位相T_pは T_p:={∪B';B'⊂B}(={∪[b∈B']b;B'⊂B}の意味)と書ける。 箱位相T_bの定義は B:={Π[λ∈Λ]U_λ;U_λ∈T}と置くとT_b:={∪[b∈B']b;B'⊂B} それでT_p⊂T_bの関係になっていると思います。 ヒントは ∀x=(x_1,x_2,…)∈(R^∞)^cを取り, ε_i=|x_i|/2 (x_i≠0の時),∞(x_i=0の時) とすると V=(-ε_1,ε1)×(-ε_2,ε_2)×… はxの箱位相における近傍でR^∞∩V=φ よってA=R^∞. となっています。∀x=(x_1,x_2,…)が(R^∞)^cの内点になっているのでA=R^∞という事なんでしょうが (0,0,…)はR^∞の元になっていてVの元にもなっていますよね。 したがってR^∞∩V=φは言えないと思うのですが…。 後半についてのヒントは ∀x=(x_1,x_2,…)∈R^ωを取ると直積位相におけるxの任意の近傍Vを取ると ある自然数nに対し,{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vで R^∞∩{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω≠φなのでR^∞∩V≠φである。 よってB=R^ω となっているのですがこれも同様に∀x=(x_1,x_2,…)∈R^ωがR^∞の内点かもしくは境界点になっているのでB=R^ωとなるんだと思います。 xの任意の近傍Vはx∈V∈T_pと書けますよね。 それが{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vとどうしてなるのか分かりません もしV=(-|x_1|-1,|x_1|+1)×(-|x_2|-1,|x_2|+1)×(-|x_3|-1,|x_3|+1)×… とずっとなっている場合は,{x_1}×{x_2}×…×{x_n}×R^ω⊂Vと言えませんよね。 どのように解釈したらいいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合と位相
(1)X,Yは位相空間とする。A,BがそれぞれX,Yの開集合であるときA×Bは直積位相X×Yの閉集合であることを示せ。 (2){Xλ}λ∈Λを位相空間の族としてAλ⊂Xλ(λ∈Λ)とする。 この時直積位相空間Πλ∈ΛXλにおいて以下を示せ。 (閉包のバーの書き方がわからないのでclと表記します) (a)cl(Πλ∈ΛAλ)=Πλ∈ΛclAλを示せ。 (b)Λは無限集合であるとき、Int(Πλ∈ΛAλ)≠φであるための必要十分条件は有限個のIntAλ≠φであり、かつその他のλについてはAλ=Xλであることを示せ。 (1)は以下のように考えたのですがわかりません。 Aの補集合、Bの補集合はそれぞれX,Yの開集合となる。 よってA^c×B^cは直積位相X×Yの開集合となる。 また(A×B)^c＝(A^c×Y)∪(X×B^c) ここで詰まってしまいました。友人に聞いてみたら、 「生成する」位相という言葉の定義がわかってないと言われました。これはどのような意味なのでしょうか？ 例えは直積位相の定義にもありました。 X,Yが位相空間でそれぞれの位相をЦx、Цyとした時に Цx×Цy={O1×O2|O1∈Цx,O2∈Цy}が生成する位相を直積位相という。 また位相を「入れる」ということはどういう意味なのでしょうか？ (2)(a)は次のように考えてみましたがどうでしょうか？ (⊃) ∀x∈Πλ∈ΛclAλを取る。∃λ∈Λ s.t. x∈clAλであるから xの任意の近傍はAλと交わる。したがってxの近傍はAλよりも大きい集合Π(λ∈Λ)Aλとも交わるので、 xはcl(Π(λ∈Λ) Aλ)の点になる。 (⊂) ∀x∈cl(Π(λ∈Λ) Aλ)を取る。 xの任意の近傍とΠ(λ∈Λ)Aλは交わるから、 あるAλと任意の近傍は交わる。これよりx∈clAλ よってx∈Πλ∈ΛclAλ (b)はわかりませんでした。アドバイスお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位相空間への全射について
位相空間への全射について 位相空間と写像について学習している者です。 質問させていただきます。 -- 集合Xから位相空間(Y,μ)への全射fがあるとき、 Т ＝ {(1/f)(U)|U∈μ}とおくとき、ТがX上の位相であることを証明せよ。 ※(1/f)はfの逆関数を示します。 -- これを証明したいのですが、道筋が見えません。。。 ご教授よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 コンパクト性がどこで効いてくるのか全く見当もつかず、 困っていたのですが、この証明でようやく分かりました。