不等式を満たす（x,y）の条件

質問

平面上の点(x,y)で、(x/3)^(2n)+(y/2)^(2n)<1
を満たすような自然数nが存在するためのxとyについての必要十分条件は
□<x<□かつ□<y<□　である。（早稲田）

(x/3)^(2n)>=0,(y/2)^(2n)>=0だから、少なくとも、(x/3)^(2n)<１，よって　-3<x<3。
同様に、-2<y<2。これが不等式を満たすための必要条件だと思いますが、
十分条件になることが、示せません。円で考えようとしましたが、かえって領域の包含
関係がわからなくなりました。よろしくお願いします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞円で考えようとしましたが

それで良いんじゃないか？

x/3＝a、y/2＝bとすると、a＾n＋b＾n＜1.
a＾n/2＝α、b＾n/2＝βとして、α＾2＋β＾2＜1となるから、α＝r*cosθ、β＝r*sinθ　と置ける。
但し、0≦r＜1、0≦θ＜2π　である。
α＝r*cosθ≦r＜1、同様にして、β＜1　つまり、(x/3)＾n/2＜1　‥‥(1)、(y/2)＾n/2＜1　‥‥(2)。
先ず、(1)を考えると、底を3とする対数をとると(xは正とは限らないから)、log【3】(｜x｜/3)＜0
つまり、｜x｜＜3.　yについても　同様にして　｜y｜＜2。

お礼

回答ありがとうございます
問題文の中に「nが存在する」という表現がでてくると
正直、何をどう処理していいのか分からなくなります。
何を基に何を示さなければならないか条件がごちゃごちゃ
なってしまいます。この場合、ｎを数と思って、式変形し
ていいということですね。

回答No.3

mister_moonlight

＞この場合、ｎを数と思って式変形していいということですね。

a＾n＋b＾n＝1　において、n＝1の時は　直線、n＝2の時は　円　になる。
n＝2/3　の時は　アステロイド　になる。
従って、大学入試(＝高校数学が対象)だから、nを自然数にしただけだろう。

回答No.1

f272

-3<x<3であれば|x/3|<1なのだからnを十分大きくとれば(x/3)^(2n)<1/2になるよね。

お礼

回答ありがとうございます
nが存在すればよいのだから、(x/3)^(2n)の値を１より小さい値の範囲で
思うがままに取らせることができるのですね。yの方も同様。
だから合わせて１より小さい値にすることができる。
理解できたように思います。
存在するとかの表現を問題文の中で使われると何を示したらよいのか、よく分からなく
なってしまいます。示したいことを結論を使って、証明したりとか。