11x^2+12xy+6y^2=4 のとき、

質問

11x^2+12xy+6y^2=4 のとき、
x^2+y^2の最小値を求めよ。

高校生のレベルでの解答はどうなるでしようか。
領域を考えようとしましたが、わかったところでうまくいかないように
おもえる。次に、条件の式の式変形を考えたが、5x^2+(x+y)^2=4程度で
この先の目どがたたない。
よろしくお願いします。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

三角関数を持ち出さなくても、微分でも解ける。

x＝0の場合は別に考えるとして。
y/x＝mとして、これを条件式に代入すると、x＾2＝4/(6m＾2＋12m＋11)。
よって、x^2+y^2＝4/(6m＾2＋12m＋11)＋(mx)＾2＝4(m＾2＋1)/(6m＾2＋12m＋11)。
続きは自分でやって。

お礼

ありがとうございます。
この方法のほうが、考えやすいように一見して思いました。
早速計算して、細かいところを詰めたいと思います。

回答No.7

muturajcp

(x,y)
(11,6)(x)=4
(6,6)(y)

(x,y)
(3/√13,-2/√13)(15,0)( 3/√13,2/√13)(x)=4
(2/√13, 3/√13)( 0,2)(-2/√13,3/√13)(y)

X=(3x+2y)/√13
Y=(3y-2x)/√13
とすると
15X^2+2Y^2=4
x^2+y^2=X^2+Y^2
となる
X^2+Y^2=k
とすると
k=2-13X^2/2≦2
15(k-Y^2)+2Y^2=4
15k-13Y^2=4
k=13Y^2/2+4/15≧4/15
∴x^2+y^2の最小値は
4/15

お礼

何がどうなってうまくいっているのか、理解しようとしています。
15X^2+2Y^2=4のとき
X^2+Y^2の最大最小を求めよという問題に帰着するのですね。
ありがとうございます。

回答No.6

nag0720

x^2+y^2=k
とおくと、
11x^2+12xy+6y^2=4
2x^2+2y^2=2k
から
9x^2+12xy+4y^2=(3x+2y)^2=4-2k

3x+2y=t　とおいて、
4x^2+(t-3x)^2=2(4-t^2)
13x^2-6tx+3t^2-8=0

あとは判別式から、
9t^2-13(3t^2-8)=0
t^2=104/30

k=(4-t^2)/2=4/15

お礼

4x^2+(t-3x)^2=2(4-t^2)
の導き方を考えようと思います。
ありがとうございます。

回答No.5

mister_moonlight

我ながら、愚かだね。

＞三角関数を持ち出さなくても、微分でも解ける。

微分も不要。最も基本的な判別式で用が足りる。

k＝x^2+y^2＝4/(6m＾2＋12m＋11)＋(mx)＾2＝4(m＾2＋1)/(6m＾2＋12m＋11)として分母を払って判別式≧0　で終わり。
但し、その最小値を与えるxとyの値が実在する事の確認は必要。

お礼

4(m＾2＋1)/(6m＾2＋12m＋11)のグラフからは、求めることができました。
このときのmの範囲はすべての実数にしました。
ｘについての方程式が実数解をもつ条件に帰着するのも、目から鱗です。

ありがとうございます。

回答No.3

mister_moonlight

どう考えても、結局は三角関数を持ち出す事になる。
それなら、初めから三角関数でやればよい。

11x^2+12xy+6y^2＝6(y＋x)＾2＋5x＾2=4 であるから、√6(y＋x)＝2cosθ、√5*x＝2sinθ　であらわせる。
したがって、xもyもθで表せるから、それを　x^2+y^2　に代入して最小値を求めるだけ。

11x^2+12xy+6y^2=4 の判別式から、この曲線は楕円族であることがわかる。
従って、座標の回転を使う手もありそうだが　-　上の解は、結局はそれをやってるんだが　-　まともに回転を持ち出すと計算が大変だよ。

お礼

有り難うございます。
どう考えても、結局は三角関数を持ち出す事になる。
という方針で考えるのかが理解できました。

回答No.2

info22_

x=k*cos(t),y=k*sin(t)(0≦t<2π,k≧0)
とおくと
x^2+y^2=k^2
11x^2+12xy+6y^2=(k^2){11cos^2(t)+12cos(t)sin(t)+6sin^2(t)}
=(k^2){11+11cos(2t)+12sin(2t)+6-6cos(2t)}/2
=(k^2){17+12sin(2t)+5cos(2t)}/2
=(k^2){17+13sin(2t+θ)}/2
=4
ここで, cosθ=12/13,sinθ=5/13,θ=tan^-1(5/12)
8/k^2=17+13sin(2t+θ)
θ≦2t+θ<4π+θなので
-1≦sin(2t+θ)≦1
従って
17-13=4≦8/k^2≦17+13=30
1/2≦1/k^2≦15/4
2≧k^2≧4/15
∴4/15≦x^2+y^2≦2
求める最小値は4/15

この時、sin(2t+θ)=1,
2t+θ=π/2,5π/2
t=π/4-(θ/2),5π/4-(θ/2)
x=(2/√15)cos(t)=±(√(2/15)){cos(θ/2)+sin(θ/2)}
y=(2/√15)sin(t)=±(√(2/15)){cos(θ/2)-sin(θ/2)}
(復号同順)
x,yを簡単化すると
2cos^2(θ/2)=1+cosθ=1+(12/13)=25/13　∴cos(θ/2)=5/√26
2sin^2(θ/2)=1-cosθ=1-(12/13)=1/13　∴sin(θ/2)=1/√26
x=±(√(2/15))(6/√26)=±(2/65)√195
y=±(√(2/15))(4/√26)=±(4/195)√195
(復号同順)

お礼

ありがとうございます。
この時、sin(2t+θ)=1,
2t+θ=π/2,5π/2
・・・・・・・以下略
この部分がなければ、ｘとｙの存在を示していないので
正答にはならないことが理解できました。
もし、この別解があったら大きな流れだけでよいので
教えてもらえればと思います。

回答No.1

mazimekko3

x = r cos(t)
y = r sin(t)
と置換すると、x^2+y^2=r^2だから、r^2の最小値を求めればいい。

代入すると、
r^2(11cos^2(t) + 6sin(2t) + 6sin(t)) = 4
r^2(8.5 + 2.5(cos^2(t) - sin^2(t)) + 6sin(2t)) = 4
r^2(8.5 + 2.5cos(2t) + 6sin(2t)) = 4
r^2(8.5 + (2.5^2+6^2)^(1/2) sin(2t + a)) = 4

って変形できるから、r^が最小になる条件では、
r^2 = 4/(8.5 + (2.5^2+6^2)^(1/2))

お礼

有り難うございます。
x = r cos(t)
y = r sin(t)
と置くところが、思いつきにくい。
思いつけば、あとは計算のみだから。
もしできれば、別解があれば大きな流れだけでもよいので
おしえてもらえればと思います。