xy=4のとき、x^2+y^2の最小値を求めよ。

質問

xy=4のとき、x^2+y^2の最小値を求めよ。
という問題で、
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy

(x+y)^2≧0だから

最小値 -2*4=-8

としたんですが解答冊子を見ると相加平均を使って、最小値8でした。
なぜ上のは間違いなのでしょうか?さっぱりわかりません。教えてください。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

質問の解き方では、（x+y)＾2≧0　だから　（x+y)＾2=0　のとき最小値をとると考えられたと思いますが、このときはx+y=0　なので　xy=4　にはなりません。(足して0かけて4になる2実数がありますか？)

xy=4　から　y=4/x　（x≠0）として代入し、x＾2+y＾2=x＾2+(16/(x＾2))　ここで　x＾2=t　とおくと　t>0なので相加・相乗平均の関係が使えて、
　与式=t+(16/t)≧2√(t×(16/t))=2√16=8　となります。

お礼

なるほど、分かりました！どうもありがとうございます！

回答No.3

osamuy

xとyが複素数でないなら、xの2乗は必ず正。yの2乗も必ず正。
正と正を足すからx^2+y^2も必ず正になるのに、負の数を答えとしてる時点でおかしいかと。

お礼

その点は確かにおかしかったです。まずそこに気づくべきでした。

回答No.2

f272

最小値 -2*4=-8と考えたということは、そのときx+y=0だと思っているわけでしょう。
xy=4のとき本当にx+y=0になると思う？

回答No.1

noname#185706

x+y=0 と xy=4 を同時に満たす実数の組 x,y が存在しないからです。