x^2+y^2=26 xy=5 の時、y/x （もしくは、x/y）の求め方。

質問

問題．x^2+y^2=26 xy=5 の時、y/x を求めよ。x>y　、ｘ＞０、ｙ＞０である。（＾２は二乗を表します。）

対称式と言うのでしょうか、よく分かりませんが、答えが無くて困っております。どうぞ、お力を貸してください。私はこう解いてみました。

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 なので、それぞれ代入すると
(x+y)^2=26+2*5 になります。ｘ＋ｙ＞０なので
x+y=6　になります。ここから、ｘを移項して
y=6-x　となり、これを　xy=5 に代入します。
x(6-x)=5 となり、れを解くと
x^2-6x+5=0 より　x=1,5　となります。
x+y=6　なので、y=5,1 になり、x>y　なので、x=5 y=1
よって、y/x　は　1/5

ここで、質問なのですが、このようにｘとｙをいちいち求めずに解く方法はあるのでしょうか？(x+y)^2=x^2+2xy+y^2　を使って、ｘ＋ｙを求めるように、何らかの公式を使ったり、x^2+y^2=26 xy=5　の二つの式を変形させたりして、y/x や　x/y いっぺんに（ｘとｙを別々に求めることなく）求めることは可能なのでしょうか？どうぞ、よろしくお願いします。

回答No.2

Werner · ベストアンサー

> x^2+y^2=26 xy=5
両辺をx^2で割って
　1+(y/x)^2=26/x^2
x=5/yより
　1+(y/x)^2=26y/5x
整理して
　5(y/x)^2-26(y/x)+5=0
y/xについてとくと
　y/x=5 or 1/5
x>yより
　y/x=1/5

補足

早速の回答ありがとうございます。すいませんが

＞x=5/yより
　1+(y/x)^2=26y/5x

のところがよく分かりません。理解力が無くて申し訳ありません。

1+(y/x)^2=26/x^2　の右辺に　x=5/y　を代入すれば
1+(y/x)^2=26/(5/y)^2 となりますよね？どうすれば、上記の形に持っていくことができるのでしょうか？お手数ですが、よろしくお願いします。

回答No.6

Werner

> 1+(y/x)^2=26/x^2　の右辺に　x=5/y　を代入すれば
> 1+(y/x)^2=26/(5/y)^2 となりますよね？どうすれば、上記の形に持っていくことができるのでしょうか？
26/x^2 を 26/(x*x) と分解して、片方のxだけにx=5/yを代入してください。
すると、
　26/(x*x) = 26/(x*5/y) = 26y/5x
となります。

これらの操作は、方程式の未知数を(y/x)だけにするための操作で、
本質的にはANo.3の回答と同じ事をしています。

お礼

回答ありがとうございました。なるほど、ｘの片方だけに入れるのですね。分かりました。非常に参考になりました。ありがとうございました。

回答No.5

mister_moonlight

御免なさい。
x＞yという条件があったんですね。

y＝kxをx＞yに代入すると、x＞0から　1＞k＞0。
従って、k＝1/5。

回答No.4

postro

x^2+y^2=26　より
x=√26cosθ
y=√26sinθ
とおく。ここでx>y　、ｘ＞０、ｙ＞０　より
0＜θ＜π/4
xy=5 より
26sinθcosθ=5　よって
sin(2θ)=5/13
cos(2θ)=12/13
(y/x)^2=(tanθ)^2={1-cos(2θ)}/{1+cos(2θ)}=1/25
y/x＞0 より　y/x=1/5
という方法もありました。

お礼

回答ありがとうございました。これは、完全に私の数学のレベルをはるかに超えています。申し訳ありません。また、いつか　postro　さんの仰っておられる事が理解できるよう、勉強したいと思います。ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

x^2+y^2=26‥‥(1)、 xy=5‥‥(2)　y/x＝k (k＞0)　‥‥(3)
(3)より　y＝kxであるから、これを(1)と(2)に代入すると、(x＾2)(1+k＾2)＝26、k(x＾2)＝5.
この2式から、x＾2を消去すれば　5k＾2-26k＋5＝(5k-1)(k-5)＝0.
k＞0より　k＝5、1/5。

お礼

回答ありがとうございました。y/x＝k　と置く。私にはまったく考えもつかない発想です。とても参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

Mr_Holland

＞このようにｘとｙをいちいち求めずに解く方法はあるのでしょうか？

　y/x やx/y を一度に求めるのでしたら、次のようにしてはいかがでしょうか。

　x^2+y^2=26の両辺をxyで割りますと、
　　x^2/xy+y^2/xy＝26/xy
　⇔x/y+y/x=26/5
　ここで、x/y＝α、y/x＝βとしますと、x>y　、ｘ＞０、ｙ＞０ですから、
　　α＋β＝26/5、α＞β
となります。またαとベータの積を考えると、
　　αβ＝(x/y)・(y/x)＝１
となります。
　さて、このようなαとβを解にもつｔの2次方程式を考えますと、回と係数の関係から次のようになります。
　　t^2-(α+β)t+αβ＝0
　⇔t^2-(26/5)・t+1＝0
　⇔25t^2-26t+5＝0
　⇔(5t-1)(t-5)＝0
　∴t=1/5, 5
　ここで、α＞βですから、
　　α＝５、β＝1/5
になりますので、求めるy/xは1/5ということが分かります。

お礼

早速の回答、ありがとうございました。数年ぶりに数学をやる者にとっては、なかなか難しいですが、とても参考になりました。ありがとうございました。