連立方程式の解き方は？

質問

整数a、b、mと実数kを含む連立方程式
p＋2a＝－8…（１）
2ap＋a^2＋b^2＝m…（２）
p（a^2＋b^2）＝－60…（３）
から、これを満たす組（a,b,p,m）を求めたいのですが、どういう方針で進めたらいいですか？
よく文字を減らせ、といいますが、何をどういう順番で消したらいいのでしょうか？？（mは消せないのは分かりますが）
問題集の模範回答は、（１）からmを含まない（３）へ代入して、（a＋b）（a^2＋b^2）＝30を作り整数であることからa、bを絞ってます。3式に4文字なのだから、単純に2文字にできるなあとは思いますが。（整数解を絞るところは分かりますがそこまでたどり着くのに戸惑います）

・どんな考え方でこのような順番になるのでしょうか。
・a^2＋b^2を部分的に消しても一般的に意味ないですよね？（a、bがともに残るから）

こういう基本の基本を知らないから困ってます

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

p は実数とはいっても、(1) から直ぐに整数と判りますね。

(1)(2)(3) を睨んで、何か文字の少ない式を作ろうとした際、
代入消去の道具として扱い易そうなのは、一次式である (1) です。
これを使って、(2) か (3) から p か a かを消す…と考えると、
(3) から p を消すのが最も簡単な式となります。
その辺りが、模範解答の発想でしょう。ほぼ一本道です。

いきなり (2)(3) から a^2 + b^2 を消去して p(m - 2ap) = -60 としてみても、
m の候補を絞った後で a^2 + b^2 = -60/p となる a, b が存在するか？を
チェックするのが大変なので、役に立ちそうな気はしません。

お礼

とてもためになりました。ありがとうございます。

回答No.1

Kules

実数kじゃなくて実数pですかね？
だとすれば、しばりが多いa,b,mは残して、しばりが全然ないpをとりあえず消してみようかなあ…
が自然な流れだと思いますが。ダメだったら次の手を考える、ということで。

参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます。覚えておきます。

補足

すみません実数pでした。