- ベストアンサー
連立方程式の実数の存在条件
- みんなの回答 （6）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
考え方だけを記します。 ＞実数a,b,cが存在するための実数p,q,s,t,u,vの必要十分条件を求めたいのですが、どのように考えればよいでしょうか？ この問題は、３次元空間ａｂｃにおいて、３平面（１）～（３）の共通する点（または、線、面）が存在する条件を求めれば良いように思います。 その条件は、次のケースに分けられると思います。 １）３平面が一致する場合 （共通部分は平面） ３平面の法線ベクトルが一致し、「共通の点」を通る。 ２）２平面の交線を残りの１平面が含む場合 （共通部分は直線） {（n1×n2)・n3}＝０ （n1,n2,n3：３平面の法線ベクトル、「・」は内積、「×」は外積） かつ 「２平面の交線上の１点」を他の１平面が通る。 ３）２平面の交線と残りの１平面が交わる場合 （共通部分は点） （n1×n2)×(n1×n3)≠０ （n1,n2,n3 ３平面の法線ベクトル） あるいは、逆に、「実数a,b,cが存在しないための条件」をケースを次のように分けて考えても良いかもしれません。 ４） いずれかの２平面が平行な場合 いずれかの２平面の法線ベクトルが平行で、その２平面が一致しない。 ５） ２平面の交線と残りの１平面が平行な場合 {（n1×n2)・n3}＝０ （n1,n2,n3：３平面の法線ベクトル、「・」は内積、「×」は外積） かつ ２平面の交線を 残りの１平面が通らない。 （交線上の１点と残りの１平面との距離が０でない。）
その他の回答 (5)
- alice_38
- ベストアンサー率43% (75/172)
No.2 No.4 です。よく見たら、 p～v が存在するための a～c の条件じゃなくて、 a～c が存在するための p～v の条件なんですね。 逆をやってました、恐縮です。 a～c が存在する条件なら、簡単です。 単なる連立一次方程式ですから、 解の存在条件は、線型代数の教科書に 一般論が書いてあります。 結論としては、行列 p q 1 s t 1 u v 1 と p q 1 p~2+q~2 s t 1 s~2+t~2 u v 1 u~2+v~2 の rank が等しいことが、必要十分条件です。
お礼
再度のご回答どうもありがとうございます。 線形代数を学ぶとずいぶんとシンプルに解けるのですね。^^ 線形代数はまだ少ししか勉強していなく、rankまでは分からないので、理解できないのが残念です。 早く到達できるように頑張ります。 どうもありがとうございました。
- mis_take
- ベストアンサー率35% (27/76)
(1)(2)(3)を満たす実数a,b,cがある ⇔ A(p,q),B(s,t),C(u,v) を通る円がある ⇔ 「A,B,C が一直線上にある異なる3点」ではない
お礼
ご回答どうもありがとうございます。 私もそのように考えておりました。 > A(p,q),B(s,t),C(u,v) を通る円がある >⇔ 「A,B,C が一直線上にある異なる3点」ではない 証明したい部分はまさにこの部分なんです。
- alice_38
- ベストアンサー率43% (75/172)
No.3 の解法は、論理的に正しいです。 No.2 No.3 両方の方法で、実際に解いてみれば、 それぞれの特長が、よく判るでしょう。
お礼
ご回答どうもありがとうございます。 Ｎo.2の解法ですが、平方完成とは (p+a/2)^2+(q+b/2)^2＝1/4(a^2+b^2)ーc として 1/4(a^2+b^2)ーc≧0 ということでしょうか・・・ これだとa,b,cの条件になってしまうような気が・・・ Ｎo.3さんの解法はすごいですね。
- alice_38
- ベストアンサー率43% (75/172)
文字が多いように見えるのは、コケ威しです。 (1) は p,q だけの方程式、 (2) は s,t だけの方程式、 (3) は u,v だけの方程式 で独立している上に、どれも同じ方程式ですから、 a,b,c の条件としては、式は一つしかない のと同じことです。 円の方程式の形をしていることに気づけば、 p,q それぞれについて平方完成して、 半径の２乗が負にならないように してやるだけです。
- LOHA
- ベストアンサー率52% (203/388)
なんだか懐かしい問題です。 いまは全く解ける自信がありませんが、とりあえず最初のきっかけは p = αcosθ q = αsinθ とする（s,t,u,vも同様に）ような気がします。 投げやりすぎですが終ります。
お礼
ご回答どうもありがとうございます。 置き換えは私も考えたのですが、それだと最初から（p,q）が円上を動くと限定されてしまって不都合が起こるような気がします・・・ 御協力どうもありがとうございます。
関連するQ&A
- 実数条件と2次方程式
x+y=u,xy=vと置き換えるとき x,yが実数であればuとvにどのように条件を引き継ぐかを考えます ある参考書によると x,yが実数 ⇔x+y,x-yが実数 ⇔uが実数、(x-y)^2=(x+y)^2-4xy>=0 ⇔uが実数、u^2-4v>=0 と書いてありました しかしここでまず疑問に思ったのが、一般的にtについての2次方程式の 解の条件に帰着する方法で考えると思うのですが、それで同値変形してみると x,yが実数 ⇔tについての2次方程式t^2-ut+v=0が2実解を持つ ⇔D>=0 となりuが実数という条件が出てきません どこがおかしいのか教えていただきたいと思います また、x,yが実数であり0<x<1,0<y<1という条件を同様に考えて変形すると x,yが実数、0<x<1,0<y<1 ⇔tについての2次方程式t^2-ut+v=0(=f(t)とおく)が0<t<1に2実解を持つ ⇔D>=0,軸>0,f(0)>0,f(1)>0 というようになります これは正しい同値変形なのでしょうか 合わせてご教授お願いします 判別式Dが実数係数の式でしか使えないということが関係しているのか とも思うのですが、やはりよくわかりません よろしくお願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連立方程式
こんばんは。 本来はＮ元連立方程式を考えているのですが、ここでは５元連立方程式として質問させていただきます。 今、下記の5元の連立方程式を考えます。 u[0]-2*u[1]+u[2]=a u[1]-2*u[2]+u[3]=b u[2]-2*u[3]+u[4]=c u[3]-2*u[4]+u[5]=d u[4]-2*u[5]+u[6]=e （a～eは定数で、左辺はu"を差分表示したものです） これでは方程式の数が２つ少なくて解けないので、条件としてu[0]=u[5]、u[1]=u[6]とします。 上の条件を考慮して行列になおすと、 -2 1 0 0 1 1 -2 1 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 1 -2 1 1 0 0 1 -2 となり、これをガウス・ジョルダン法で解こうと思っているのですが、行列式が0になってしまい解けません。つまりこの連立方程式は自明な解しか存在しないと言うことでしょうか？ガウス・ジョルダン法以外の別の解く方法か良いテクニックがありましたらアドバイスお願いします。 また分かりにくい場合は補足要求お願いいたします。
- ベストアンサー
- その他（学問・教育）
- 原点から直線におろした垂線の足の座標
「原点から直線 (x-p)/a=(y-q)/b=(z-r)/cへおろした垂線の足の座標を求めよ。」という問題です。 解いてみました・・・。 (x-p)/a=(y-q)/b=(z-r)/c=tとすると x=at+p y=bt+q z=ct+r ∴この直線上の点Pは媒介変数tを用いて P(at+p,bt+q,ct+r)とかける。 また、この直線の方向ベクトルｖはv=(a,b,c)であるから v*(op)=a(at+p)+b(bt+q)+c(ct+r)=0とおくと a^2*t+ap+b^2*t+bq+c^2*t+cr=0 (a^2+b^2+c^2)t=-ap-bq-cr t=(-ap-bq-cr)/(a^2+b^2+c^2) x=at+p=a*{(-ap-bq-cr)/(a^2+b^2+c^2)}+p ={(b^2+c^2)p-a(bq+cr)}/(a^2+b^2+c^2) 同様に y={(a^2+c^2)q-b(ap+cr)}/(a^2+b^2+c^2) z={(b^2+a^2)r-c(bq+ap)}/(a^2+b^2+c^2) となりましたが・・・。もっと式を簡単にできないのかな？
- 締切済み
- 数学・算数
- 三角形の内点角から長さを求める3変数連立2次方程式
平面上に、△ABC(BC=a,CA=b,AB=cとします)と点Pがあり、∠BPC=α、∠CPA=β、∠APB=γ (α+β+γ=2π)となったとき、p=AP、q=BP、r=CPの長さを求めたく思いました。 余弦定理より、 a^2=q^2+r^2+qrcosα b^2=r^2+p^2+rpcosβ c^2=p^2+q^2+pqcosγ この3変数連立2次方程式をp,q,rについて解くとどうなるのでしょうか？ 具体的な解の表示を知りたく思います。 α=β=γ=2π/3のときには、 p={4S+(b^2+c^2-a^2)√3}/√6√(a^2+b^2+c^2+4S√3) ただし、Sは△ABCの面積で、16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) などとなります。
- 締切済み
- 数学・算数
- 連立方程式の解が存在する条件について
「添付図左上の連立方程式が解を持つような実数uの値を全て求めよ．」という問題について質問です 添付図では係数行列Rと拡大係数行列Aを1つにまとめて書いていますが，行列Aの第3列までが係数行列Rです さらに「～」は行基本変形を表しています ・u≠±1のとき rankR=3 rankA=4 よって解なし ・u=+1のとき rankR=2 rankA=2 よって解あり ・u=-1のとき rankR=2 rankA=3 よって解なし 以上より解を持つのはu=1の場合 この考え方は合っていますでしょうか？ また，模範解答には「u≠0,-1」とあります．これはなぜなのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数・連立方程式
４次の正方行列 A=(1 α β 0) (2 β 10 α) (α 4 β -4) (1 2 3 -4) とベクトルbを用いて表される４元連立１次方程式Ax=bについて、解空間が t(x1 x2 x3 x4)=t(5+2s -3s+2t 1+s-t 3-s+t) s,tは実数 で与えられているときの、α、βを求めたいのですが、どのような条件を使って考えていけばよいのでしょうか？同次方程式を考えたりしてみたのですが、うまくいきません。どなたかお力添えをお願いします。 なを、カッコの前のtは転置行列という意味で使用させていただきました。大変読みにくいかもしれませんが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
大変詳しいご回答どうもありがとうございます！ 円で考えることに執着しておりました。 ３平面で考えるのですね。 ３平面が交わる条件が式で表せることを初めて知りました。 どうもありがとうございます。 「実数a,b,cが存在しないための条件」を考えると 実は条件（４）は不適なので、 条件（５）のみを考えればよく圧倒的に楽ですね。^^ {（n1×n2)・n3}＝０ （ただしn1＝n2＝n3の場合を除く） がNo.5さんの「A,B,C が一直線上にある異なる3点」と 同値である事も確認できました。 どうもありがとうございました。