二次方程式について

質問

二次方程式について
x=2-√3i　が二次方程式　x~2+px+q=0　の1つの解であるとき
実数p,qの値　という問題で
自分は
x-2=-√3i　にして両辺平方し、
x~2-4x+7=0 という式を出して係数を比較しました。
この方法では、この先、別の問題を解いていった際に
何か不都合なことがおきてきますか？
模範解答では
x=2-√3i　を　x~2+px+q=0　に代入し、
2p+q+1=0 と　p+4=0 の連立方程式から解いています。
こちらの方が良い点はあるのでしょうか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

後者の方が問題の条件を多からず、少なからず使って解く解法ですね。

>こちらの方が良い点はあるのでしょうか？

あなたのやり方は、平方する時点で同値関係が保たれなくなります。
つまり、x-2=+√3iも解として含んでしまいます。
なので、あなたが求めた方程式は
x=2-√3iとx=2+√3iを解としてもつ方程式を求めていることになります。
「実係数の二次方程式では、x=2-√3iが１つの解なら、その共役数も解になる」という性質に言及しないと、答えは合っていても、幾分減点される可能性があるのです。

お礼

みなさん回答ありがとうございました。
習った範囲の実係数の方程式のことだけで考えていました。
言われてみれば複素係数の方程式もありえるんですね。
今後は考えて注意して解くようにしてみます。

補足

この前に、
x=1-√3i/2 のとき,x~3-2x~2+x+1 の値を求めよ
という問題があり、この解答では
2x-1=-√3i にして平方してx~2-x+1=0を出してから、
x~3-2x~2+x+1=(x~2-x+1=0)(x-1)-x+2
となることを利用して求めていたので
同じように平方してやってみました。
この解答では共役数について何も断っていないのですが、
この場合は良いのでしょうか？

回答No.5

info22_

#1,#4です。

A#4の補足ですが、A#4の回答では、最後に出てきたxの一次式
>x^3-2x^2+x+1=(x^2-x+1)(x-1)-x+2
=-x+2
のxに「x=(1-√3i)/2」を代入して値を求める
ことを前提にしています。

なお、x^2-x+1=から逆算してxを求めると
「x=(1±√3i)/2」となりますが、この操作で共役複素数の
「x=(1+√3i)/2」（２乗操作で混入した本来のxでないx）を使って式の値を計算すると間違った値が出ます。
本来の与えられた「x=(1-√3i)/2」でないxを使った所に間違いの原因があることはいうまでもないですね。

回答No.4

info22_

#1です。

A#1の補足質問について

>2x-1=-√3i にして平方してx~2-x+1=0を出してから、
>x^3-2x^2+x+1=(x^2-x+1)(x-1)-x+2 【←書き方に注意】

>となることを利用して求めていたので
>同じように平方してやってみました。
>この解答では共役数について何も断っていないのですが、
>この場合は良いのでしょうか？
そのやり方で良いですね。
この場合は、一方方向に式を変形しを導いた式を利用しているだけなので
共役複素数のことは考慮する必要はありません。

回答No.3

alice_44

この問題では、p,q が実数と指定されています。
そうでないとき、方程式の係数が虚数でありえる
場合には、貴方の解法では不都合が起こります。

貴方が求めたものは、二つの解が 2±(√3)i
であるような二次方程式。
問題が尋ねているものは、解の一つが 2-(√3)i
であるような方程式です。
両者は、
方程式の係数が実数である場合は一致しますが、
複素係数では、一致するとは限りません。

例えば、もう一つの解が 5+7i だったりすれば、
p,q は、違う値になります。
(実数ではなくなりますが)

共役解の件に言及しておかなければ、
p,q が答えの値になる根拠を欠き、
偶然あたっただけと言われても
文句は言えません。

質問文中の模範解答なら、所与の条件に忠実です。

回答No.2

ykskhgaki

現在の高校ではどのように教えているのか分からないので何とも言えませんが、
あなたの方法で特に問題は無いように私は思います。

二次方程式の一方の解が　x1 = 2 - √3i なら当然もう一方の解は　x2 = 2 + √3i となります。
解の公式　　→　　x = 2 ± √3i　（共役複素数）　より
(x - 2 - √3i)(x - 2 + √3i) = 0　→　x^2 - 4x + 7 = 0
または
x - 2 = ± √3i　→　x^2 - 4x + 4 = -3　→　x^2 - 4x + 7 = 0
あなたの方法と同じ結果になります。

p , q を求めよという問題なので、そのやり方では時に誤った解が得られる可能性がない限り
正しい答えが得られれば特に問題は無いはずです。

私の感覚では、そこに書かれた模範解答はあまりいい方法だとは思えません。