導関数の応用問題について質問したいです

質問

関数 f(x)=x^3+6x+1 が常に増加することを示しなさい。

という問題なのですが、常に増加する、というのがいまいち理解できません……。
どう言うことなのか、教えて頂けると嬉しいです！

回答No.4

WiredLogic

数学用でない、普通の言葉で言えば…

・xが増えたら、必ず、f(x)も増える、とか、
・y=f(x)のグラフを描くと、どこをとっても、右上がりになっている、

というふうなことになります。

ただし、f(x)の増え方、y=f(x)の右上がりの具合は、変化しても構いません。つまり、あるところでは、ほとんど水平に近かったり、あるところでは、切り立った崖に近かったり、と、目まぐるしく上がり具合が変わったとしても、基本、右上がりでさえあれば、いい訳です。

また、そういうときは、それなりの指示があると思いますが、一瞬だけ、水平になったり、しばらくの間、水平だったりするのを、認める場合もあります。ただ、この問題の場合は、そういうことはなく、どこでも、キッチリ右上がりになっていますが…

何故そんなことが解るかの部分は、質問内容に含まれていませんが、念のために言っておくと、微分したもの(正確には、微分係数や導関数)＝接線の傾き＝曲線の瞬間・瞬間での右上がり具合、なので、微分したものが、いつでもプラスなら、どこでも、右上がり、ということになります。(一瞬水平やしばらく水平を認めるときは、微分したものが0になる場合も含める)

回答No.3

alwen25

あらゆるxにたいして
df/dx>=0でもいいです。
こちらのほうが証明は簡単でしょう。

回答No.2

noname#128765

関数f(x)が常に増加する⇔任意のx,y∈Rに対して　x<y ならばf(x)<f(y)が成立
⇔任意のx∈Rについてf'(x)>0

回答No.1

noname#130496

x<yならf(x)<f(y)ということ