運動方程式を状態方程式で表し、出力方程式を求める。

質問

下の図の倒立振り子において、外力f(t)が作用している場合の運動方程式は

Ml{d^2θ(t)/dt^2}=(M+m)gθ(t)-f(t)
M{d^2z(t)/dt^2}=f(t)-mgθ(t)

と表される。
上式を状態方程式で表し、出力をy(t)=z(t)とした場合の出力方程式を示せ。

という問題が分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

drmuraberg · ベストアンサー

「運動方程式を状態方程式・・・」と言うので、昔取った杵柄の熱力学かと
思い覗きましたが違うようですね。
回答が付かないようなので下記ＵＲＬの説明に従い計算してみました、
参考にしてください。
http://lab.cntl.kyutech.ac.jp/~kobalab/nishida/pdf/09no2.pdf

Ml{d^2θ(t)/dt^2}=(M+m)gθ(t)-f(t) (1)
M{d^2z(t)/dt^2}=f(t)-mgθ(t) (2)

ここで状態変数を次の様に取ります。
x1=θ(t), x2=dθ(t)/dt= dx1/dt, x3=z(t), x4= dz(t)/dt= dx3/dt
f(t)が入力変数となります。

これを使って(1), (2)式を書き換えると、
dx2/dt = a1*x1 – (1/MI)f(t) (3)
dx4/dt = a2*x1 + ((1/M)f(t) (4)

ここで　　a1 = (M+m)g/MI, a2 = -mg/M

これを列ベクトルX = (x1,x2,x3,x4)を使い「状態方程式」の形にまとめると
dX/dt = AX + Bf(t) (5)

A = (0 1 0 0), (a1 0 0 0), (0 0 0 1), (a2 0 0 0) を行とする4x4行列、
B = (0 – 1/MI 0 1/M) の行ベクトル。

出力方程式は次の様になる。
θ(t) = (1 0 0 0)X
z(t) = (0 0 1 0)X (6)

この表示のメリットは制御図との対応が付きやすいと
言うことなのでしょうか。