雨滴の運動方程式を解きたい

質問

空気抵抗を無視して、垂直落下中水蒸気を吸着してでかくなる雨滴の運動を考える。雨滴の質量、半径、速度をそれぞれ、m(t),r(t),v(t)として、運動方程式・d{m(t)v(t)}/dt=m(t)g　が与えられている。
ここで、m(t)=(4π/3)×r(t)の３乗、dm(t)/dt=k×4π×r(t)の２乗(k:比例定数）の関係がある。
t=0で速度0、雨滴半径a　として運動方程式を解いて、v(t)を出さなくてはならないのですが、運動方程式に、与えられた式２つを入れて解こうとすると、つまずきます。
上見づらくてすいません・・・。あと問題も説明不足だったら言ってください。
アドバイスください。こうすれば微分方程式が解けるよ。みたいな感じで良いのでm(..)m　お待ちしております

回答No.3

outerlimit

空気の抵抗を無視する　と言うことは

先人の有名な実験　羽毛も鉄球も同じ速さで落下する　です

地球の重力加速度で加速され続けます

水蒸気の運動方向が落下方向と異なれば、水蒸気を吸着することにより、方向と速度が両者の質量・運動量に応じて変化します
その場合、水蒸気の質量、運動方向、速度も必要になります
水蒸気を吸着することによる質量の増加率は与えられていますが方向・速度についてはふれられていませんから　速度0　と見なせば・・・・

お礼

返答ありがとうございます。確かに空気抵抗無視しちゃうと・・・。
問題をそのままで書きます。

雨滴が重力により落下するとき、その表面に水蒸気が凝結して次第に体積が増加する。堆積の増加の割合は常に表面積に比例する(比例定数をｋとする)ものと仮定する。ただし、雨滴は常に休憩で、空気の抵抗は無視できるものとする。また、水蒸気は静止しているものとする。雨滴の密度ρはρ＝１で一定。

回答No.2

inara

空気抵抗を無視するのはどうかと思いますが、自分なりに解いてみました。雨滴の密度が入ってなかったので入れましたが、k に含まれているのなら ρ = 1 としてください。結果は t の１次の項と、t の-ρ/k 乗の項の差になったのですが、ρ/k の大きさによっては一定になるということでしょうかね。微分方程式の解は数式処理ソフトに頼りましたが全体を検算していないので、元の運動方程式に入れて成り立つか確認してください。

(運動方程式）
　　d(m*v)/dt = m*g --- (1)

雨滴の半径を r [m]、密度を ρ [kg/m^2] とすれば、質量 m [kg] は
　　m = 4/3*π*ρ*r^3
となります。r が時間 t の関数であれば
　　dm/dt = 4*π*ρ*r^2*dr/dt
となりますが、ご質問の条件「 dm/dt = k*4*π*r^2 」と比較すると
　　k = ρ*dr/dt
　　→　dr/dt = k/ρ --- (2)
です。もし k が定数なら、式(2)の両辺を t で積分して
　　r(t) = k*t/ρ + C1　（ C1 は定数 ）

t = 0 のときの半径を r0 [m] とすれば C1 = r0
したがって、r(t) = k*t/ρ + r0 より
　　m(t) = 4/3*π*ρ*( k*t/ρ + r0 )^3 --- (3)
　　dm/dt = 4*π*k*( k*t/ρ + r0 )^2 --- (4)

一方、運動方程式 (1) は、m と v を時間の関数とすれば
　　d(m*v)/dt = v*dm/dt + m*dv/dt = m*g
だから、式 (3), (4)を代入して
　　4*π*k*( k*t/ρ + r0 )^2*v + 4/3*π*k*( k*t/ρ + r0 )^3*dv/dt = 4/3*g*π*ρ*( k*t/ρ + r0 )^3
　　→ 3*v + ( k*t/ρ + r0 )*dv/dt = g*ρ*( k*t/ρ + r0 )/k
　　→ v(t) = g*ρ*( k*t + r0*ρ )/{ k*( ρ + k ) } + C2*( k*t + r0*ρ )^( -ρ/k ) t = 0 のとき v = 0 ならば C2 = -g*ρ^2*r0/{ k*( ρ + k )*( r0*ρ )^( -ρ/k ) }
　　v(t) = g*ρ*( k*t + r0*ρ )/{ k*( ρ + k ) } - g*ρ^2*r0*( k*t + r0*ρ )^( -ρ/k )/{ k*( ρ + k )*( r0*ρ )^( -ρ/k ) }

お礼

まさか解いて下さる方がいらっしゃるとは思いませんでした。ほんとにお疲れさまです。ありがとうございます。
パッと見、微分方程式が解けるか自身がありませんが、、r(t)をｔの関数にしていただいただけでも、十分たすかりました。
そして、密度＝１というのを問題文に入れ忘れていました。すいません。
ホントありがとうございました。

回答No.1

outerlimit

空気の抵抗を無視すれば
粒径による違いはありません

粒径による違いが現れるのは　
質量は粒径の３乗に比例
等価面積（空気の抵抗を受ける）は粒径の２乗に比例　　するからです

お礼

ご返答ありがとうございます。
ですが、「粒径による違いはない」というのが、イマイチ理解できず・・・・。アホですいません(汗)
r(t)は実はtによらないモノだとしてよい、ということですか？