熱とエネルギー

質問

シリンダー内に、面積S[m^2]の軽い円板と質量m[kg]のおもりによって、温度To[K]の気体が閉じ込められ、円板の底面からの高さはh[m]であった。
次に、この気体を加熱したところ、気体は膨張して、底面からの円板の高さがH[m]になった。
大気圧をpo[Pa]、重力加速度の大きさをg[m/s^2]として、この時の気体の温度、およびこの過程で気体が外部にした仕事を求めよ。

解ける方、解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

ryujin118 · ベストアンサー

熱力学を知っていると機械的に解けます．

Q：気体に加えられた熱量，W：気体がした仕事，M：気体の質量，u：比内部エネルギー，h：比エンタルピー，cv：定容比熱，cp：定圧比熱，R:気体定数，P1：状態1の気体の圧力，P2：状態2の気体の圧力

注目している気体は閉じた系で状態変化するので，
閉じた系における熱力学第一法則（内部エネルギー表示）より，

Q = M∫du + W
W = Q - M∫du = Q - Mcv(T-T0)[1]

同様に，閉じた系における熱力学第一法則（エンタルピー表示）より，

Q = M∫dh - ∫VdP

ただし，状態変化前後の気体の圧力は変化しないため，

Q = M∫dh = Mcp(T-T0)[2]

式[1]に式[2]を代入すると，

W = M(cp-cv)(T-T0)

比熱と気体定数の関係より，

W = MR(T-T0)[3]

あとは状態方程式と力のつり合いからMRとTを求めればおしまいです．

状態方程式より，

MR = P1V1/T0 = P1Sh/T0[4]

力のつり合いより，

P1S -mg - P0S = 0
P1 = (mg + P0S)/S (= P2)[5]

式[5]を式[4]に代入すると，

MR = (mg + P0S)h/T0[6]

また，状態方程式より，

T = P2V2/(MR) = P1SH/(MR)[7]

式[7]に式[5]，[6]を代入すると，

T = (H/h)T0[8]

式[3]に式[6]，[8]を代入すると，

W = (mg + P0S)(H - h)

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

noname#137826

求める温度を T [K] とすると、ボイルシャルルの法則より

p0Sh/T0 = p0SH/T

となります。これを解いて T = (H/h)T0

求める仕事 W は、気体が大気圧に抗して円板を押し上げた仕事と、おもりの位置エネルギーの増加分の和です。(あるいは、大気とおもりが円板を押す力に抗して円板を押し上げた仕事、と考えても同じことです。)

したがって、

W = p0S(H - h) + mg(H - h) = (p0S + mg)(H - h)

となります。

お礼

ありがとうございます。