角運動量LｚとハミルトニアンＨの交換関係

質問

Ｌｚ＝ｘｐｙ－ｙｐｘ
Ｈ＝－ｈ(エイチバー）/２ｍ　（∂＾２/∂ｘ＾２＋（∂＾２/∂ｙ＾２）　＋Ｖ（ｒ）
で、Ｌｚとハミルトニアン演算子Ｈは交換できるようなのですが、どのように計算すれば
[Ｌｚ，Ｈ]＝０となるのでしょうか？わかる方がいたら教えてください！！

回答No.3

yokkun831 · ベストアンサー

φを付け加えてみましょう。

LzV(r)/(-ih~)・φ = (x∂/∂y - y∂/∂x)V(r)φ
= x∂{V(r)φ}/∂y - y∂{V(r)φ}/∂x
= x {∂V(r)/∂y・φ + V(r)∂φ/∂y} - y {∂V(r)/∂x・φ + V(r)∂φ/∂x}
= [ x dV/dr・∂r/∂y + xV∂/∂y - y dV/dr・∂r/∂x - yV∂/∂x ]φ

となりますね？　演算子は後にあるもの一切にかかるということを意識してください。

お礼

回答ありがとうございます！！φがつくんですね！！完全に理解することができました。本当にありがとうございます！！

回答No.2

yokkun831

Lz = xPy - yPx = -ih~(x∂/∂y - y∂/∂x)
H = -h~^2/(2m)・∆ + V(r)
ただし，
∆ = ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2
r^2 = x^2 + y^2

Lz∆/(-ih~) = (x∂/∂y - y∂/∂x)(∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2)
= x∂^3/(∂x^2∂y) + x∂^3/(∂y^3) - y∂^3/∂x^3 - y∂^3/(∂x∂y^2)

∂/∂x(x∂/∂y) = ∂/∂y + x∂^2/(∂x∂y)
∂^2/∂x^2(x∂/∂y) = 2∂^2/(∂x∂y) + x∂^2/(∂x^2∂y)

∆Lz/(-ih~) = (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2) (x∂/∂y - y∂/∂x)
= 2∂^2/(∂x∂y) + x∂^3/(∂x^2∂y) - y∂^3/∂x^3
　　 + x∂^3/∂y^3 - 2∂^2/(∂x∂y) - y∂^3/(∂x∂y^2)
= x∂^3/(∂x^2∂y) + x∂^3/(∂y^3) - y∂^3/∂x^3 - y∂^3/(∂x∂y^2)

∴[Lz，∆] = Lz∆ - ∆Lz = 0

LzV(r)/(-ih~) = (x∂/∂y - y∂/∂x)V(r)
= xdV/dr・∂r/∂y + xV∂/∂y - ydV/dr・∂r/∂x - yV∂/∂x
= xdV/dr・y/r + xV∂/∂y - ydV/dr・x/r - yV∂/∂x
= xV∂/∂y - yV∂/∂x

V(r)Lz/(-ih~) = V (x∂/∂y - y∂/∂x)
= xV∂/∂y - yV∂/∂x

∴[Lz，V(r)] = LzV(r) - V(r)Lz = 0

したがって，
[Lz，H] = -h~^2/(2m)[Lz，∆] + [Lz，V(r)] = 0

こんな具合でしょうか？いずれも演算子の対象であるφの存在を気にしながら計算してください。

補足

回答ありがとうございます！！途中まで計算してみたのですが、
＞LzV(r)/(-ih~) = (x∂/∂y - y∂/∂x)V(r)
= xdV/dr・∂r/∂y + xV∂/∂y - ydV/dr・∂r/∂x - yV∂/∂x
= xdV/dr・y/r + xV∂/∂y - ydV/dr・x/r - yV∂/∂x
= xV∂/∂y - yV∂/∂x
の部分の計算の二行目で+ xV∂/∂y と- yV∂/∂xが付け足されているのですが、これはどのようにして出て来た項なのでしょうか？
+ xV∂/∂y ＝- yV∂/∂xとできるからつけたすことができるのでしょうか？教えてください。

回答No.1

yokkun831

[Lz，H]φ = (LzH - HLz)φ = LzHφ-HLzφ = 0
を実際に計算して確認せよということではないでしょうか？

ハミルトニアンに∂^2/∂z^2がないようですが，運動はxy平面に限られているという意味ですか？
その場合，V(r)においてr = (x，y)としてよいのかどうか…補足が必要と思われます。

補足

回答ありがとうございます！運動はxy平面に限られています。V(r)においてr = (x，y)としてよいのだと思います。実際にどの項とどの項が交換していい項なのかがわかりません。教えてください。