ローレンツ力場においての角運動量について

質問

電荷q[C]をもつ質量m[kg]の粒子がある。
その位置ベクトルを r = (x,y,z)　（太字が出来ませんので、ベクトルと認識してください） とする。
　粒子にはローレンツ力　(電場は考えない）

　　　F = q(v×B)　

がかかる。
と、こういう問題条件として、以下の問題がちょっと分からないので教えていただきたく思います。

(1) 角運動量 L = (Lx, Ly, Lz)　が満たすべき　一階の微分方程式を導け。

(2) 磁場ベクトル B=(0,0,b) （bは定数）があるとして（つまりz軸方向の一様な磁場です）、初期条件を以下のように定める。

　　　t=0 のとき、　Lx=0, Ly=L0 (L0は定数）

このときの、(1)の微分方程式を解け。

といったものです。
問題条件だけ見ると、よくある一様磁場内での粒子の運動だと思いますし、粒子の与え方によっては螺旋回転運動をして、その回転角速度は

　　　ω= qb / m

になる・・ など教科書でよく取り上げられる程度の解は、私にも分かります。
　まず、角運動量については、（1）の満たす一階の微分方程式というのはおそらく力のモーメントのことだと思いますので、
　　　dL/dt = r × F
　　　　　　= r × q(v × B)
　　　　　　= q ( v(r・B) - B(r・v) )

　…でよろしいのでしょうか。
さて(2)ですが、途中計算を省略しまして、各成分については、以下時間微分を　dL/dt = L' のように表しますと　v = ( x', y', z' )　としまして

　　　Lx' = qb z y'
　　　Ly' = qb z x'
　　　Lz' = -qb ( x x' + y y' )

　となりましたので、答え…ということでよろしいのでしょうか？　条件などで何か他の方程式になるような気もするのですが、有用であるような式を私には導き出せません。（多分これが間違っているからこの後が解けないような気もしています）

　一応問題にはヒントとして、一階の微分方程式をもう一度両辺tで微分し、二階の微分方程式として解き、それから一階の微分方程式の解を求めると良い。　とあります。
　(1)で求めたものを一応微分しましても、ヒントが恐らく言いたいだろう、まったく計算しやすいものとはいえない気がします。連立微分方程式でしょうが、ベクトルLとrが混じって（Lもvなどに直して計算していくという泥臭い方法でなら私にも解けるかもしれません）どのように解まで計算できるのか数学的にも少し分からない状態です。

　以上に示しましたとおり、私が数学的な微分方程式の解法を十分理解していないだけなのかもしれませんが・・・どなたか分かる人がおられましたら教えていただきたく思います。
　宜しくお願いします。

回答No.3

rabbit_cat · ベストアンサー

＞A×(B×C)　＝　(A×B)×C
＞のような交換(?)、成り立たないように思えるのですが…
＞何度もお手数お掛けして大変申し訳ないのですが
確かに。そうでした。外積は一般には結合則成り立たないですね。すいませんです。。

ということで、(1)(2)からr,vを消去する方法をもうちょっと真面目に考えないといけませんね。
えーと、
dL/dt = r × q(v × B)　
L=mr×v
から、rを消去。。うーん、簡単にできそうにない。成分計算したらできるのかな？

お礼

ありがとうございます。

やはりそうですよね。簡単に出来そうにないんです。。。
私もそれに戸惑ってしまったもので・・・

お付き合いありがとうございました。
もうしばらくこの質問は閉じずに答えを待ってみたいと思います。

回答No.4

de_Raemon

荷電粒子が角運動量Lをもつので、粒子はLに比例した磁気モーメントaLをもちます。
(aは適当な比例定数です。)
磁気モーメントaLは磁場Bからトルク
N = aL×B ・・・(1)
を受けます。角運動量とトルクの関係式
dL/dt = N ・・・(2)
に(1)を代入して
dL/dt = aL×B ・・・(3)
を得ます。これがLのみたすべき一階の微分方程式ではないでしょうか。
(3)をもう一度tで微分して(3)を使うと
(d^2)L/(dt)^2 = a(dL/dt)×B = a(aL×B)×B = (a^2)[B(L・B)-L(B・B)] ・・・(4)
となります。成分ごとに書くと
(d^2)Lx/(dt)^2 = -(ab)^2Lx , (d^2)Ly/(dt)^2 = -(ab)^2Ly , (d^2)Lz/(dt)^2 =0 ・・・(5)
です。解くのは簡単ですが初期条件がたりないような気が。。。

お礼

ご返答大変遅くなり申し訳ありません。

磁気モーメントとは・・・、すいません私がまだ分からない範囲のようです。。書いていただいた内容はこれから勉強していこうと思います。

一応、学校の理学・物理の先生2人にも質問したのですが、「この問題はおかしい」と言われました。初期条件もさることながら、角運動量をつかってこの問題を解かせる意味が分からないとおっしゃっておりましたので、とりあえず私としては保留という状態になりました。

ありがとうございました。

回答No.2

rabbit_cat

つまり、
dL/dt = r × F
　　　　　　= r × q(v × B)　…(1)
だけじゃ不足だと言ってるわけです。
L = mr×v　…(2)
ていう式を忘れてます。この２つの式を連立させなきゃダメです。（あと、v=dr/dtていうのも暗黙にありますが）
未知数が、r,v,Lて３つあるんだから、式が３つなかったら解けるわけがないんです。
普通に解くなら、(2)を(1)に代入してLを消去してrについての微分方程式にしてもいいですが、
この問題の場合は、わざわざ、Ｌについての微分方程式をたてろ、て書いてありますから、つまり、(2)をつかって、(1)から、rとvを消去しろってことでしょう。

具体的には、
dL/dt = r × F
　　　　　　= r × q(v × B)
　　　　　　= q(r × v) × B
　　　　　　= q/m (L × B)
ですね。

お礼

またも素早い回答感謝いたします。

私の勘違いだったようですいません。
回答は理解いたしました。
ですが、、えっとベクトルの三重積は任意のベクトルA,B,Cについて

　A×(B×C)　＝　(A×B)×C

のような交換(?)、成り立たないように思えるのですが…
何度もお手数お掛けして大変申し訳ないのですが、

　　　　 r × q(v × B)
　　　　= q(r × v) × B

と、おき直せる理由を教えていただけませんでしょうか。

回答No.1

rabbit_cat

角運動量の定義の式
L = mr×v
てのを忘れてない？

お礼

回答ありがとうございます。

その回答の意としましては、
r,vを通常のF=maのニュートン方程式で求めてからベクトル積で出せばいいじゃないか。
もしくは、Lx'　を示すなら、Lx=[(mr×ｖ)']x　を微分して式を出した方がいいだろう。
ということでございますか？

もちろん、それは私も考えたのですが、与えられた問題が、Lが満たすべき一階の微分方程式を求めよ。で
さらに与えられている初期条件がたった2つしかない（rやvを求めていくと未定定数が多すぎるのでは？）。さらに、問題で与えられているヒントが、その一階微分方程式をさらに二階微分方程式にして、そこから解を求めていくように、みたいに要請しています。
そのため、そういう方法はこの問題が要請している解法ではない気がして、質問させていただいた次第です。

私の察し違いでございましたら、申し訳ありません。
もしよろしければ、さらに一考お願いいただきたく思います。