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角運動量演算子
スピン1/2の粒子a,bがある。それぞれのスピン角運動量演算子をs1,s2とする。s1・s2(内積)の固有状態と固有値求めよ。という問題なんですが、s1・s2=(s1x)(s2x)+(s1y)(s2y)+(s1z)(s2z) =1/2((s1+)(s2-)+(s1-)(s2+))+(s1z)(s2z)…(1) ただし、s1,2x,y,zはそれぞれs1,2のx,y,z成分で、s1,2±は昇降角運動量演算子つまり、(s1,2±)=(s1,2x)±i(s1,2y)である。 (1)のように変形して考えるような気がするのですが、ここから先が分かりません。
- univ-kyoto
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演算子を大文字で、固有値を小文字で表すことにします。 合成したスピンをS=S1+S2とし、 S^2=(S1)^2+(S2)^2+2S1・S2 → S1・S2=(1/2)(S^2-(S1)^2-(S2)^2) …(1) と変形したほうが楽なんじゃないかと思います。 交換関係[(S1)^2,(S2)^2]=0なので [S^2,(S1)^2]=[S^2,(S2)^2]=0 …(2) が成り立ち、S^2の固有状態は(S1)^2と(S2)^2の固有状態にもなってます。 つまりS^2の固有状態を|s,m,s1,s2>とすると、 S^2|s,m,s1,s2>=s(s+1)h^2|s,m,s1,s2> …(3) (S1)^2|s,m,s1,s2>=s1(s1+1)h^2|s,m,s1,s2> …(4) (S2)^2|s,m,s1,s2>=s2(s2+1)h^2|s,m,s1,s2> …(5) ここでs,s1,s2はそれぞれS^2,(S1)^2,(S2)^2の固有値でmはSzの固有値です。 またhはhバーのつもりです。 (1)(3)(4)(5)から (S1・S2)|s,m,s1,s2>=(1/2)(S^2-(S1)^2-(S2)^2)|s,m,s1,s2> =(1/2)h^2(s(s+1)-s1(s1+1)-s2(s2+1))|s,m,s1,s2> …(6) したがってS^2の固有状態|s,m,s1,s2>はS1・S2の固有状態で、 固有値は(1/2)h^2(s(s+1)-s1(s1+1)-s2(s2+1))なことがわかります。 今の問題ではs1=s2=1/2なのでsがとる値は1か0なので、 S1・S2の固有値は(1/4)h^2と-(3/4)h^2の二つですね。
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- eatern27
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(n次元ベクトル空間上の)演算子Aの固有値・固有状態を求めたい時には、 1.正規直交基底|1>,・・・,|n>を適当に選ぶ. 2.<i|A|j>を計算する 3.(i,j)成分が<i|A|j>であるような行列の固有値・固有ベクトルを求める というのが基本的な手順です。
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お礼
詳しい解答ありがとうがざいます。とても分かりやすかったです。