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量子力学の全スピン角運動量演算子の問題

量子力学の全スピン角運動量演算子の問題です。 固有値を用いるようですが、回答の道筋がよく分かりません。 分かる方がいましたら、なるべくゆっくりご回答いただければと思います。 参考になるサイトがありましたら、URLを載せていただけても嬉しいです。 よろしくお願いします。

noname#239596
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  • 回答No.2
  • tetra_o
  • ベストアンサー率93% (15/16)

すいません,#1で[S_a・S_a,S・S]=[S_a・S_a,S_a・S_a+S_b・S_b]=…=0としていましたが,S・S=S_a・S_a+2S_a・S_b+S_b・S_bですのでこれは間違いです。正しくは, [S_a・S_a,S・S] =[S_a・S_a,S_a・S_a+2S_a・S_b+S_b・S_b] =[S_a・S_a,S_a・S_a]+2[S_a・S_a,S_a・S_b]+[S_a・S_a,S_b・S_b] =0+2*0+0 =0 ということだと思います。[S_a・S_a,S_a・S_b]=0については,S_a=(S_ax,S_ay,S_az),S_b=(S_bx,S_by,S_bz)として代入すれば示せます。こんな間違いをしてしまいお恥ずかしい…

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  • 回答No.1
  • tetra_o
  • ベストアンサー率93% (15/16)

ベクトルを示す「→」は省略します。 S・S|ψ> =(S_a+S_b)・(S_a+S_b)|ψ> =(S_a・S_a+2S_a・S_b+S_b・S_b)|ψ> ここで,スピン角運動量演算子についての固有方程式S_a・S_a |α> = (1/2)(1/2+1)h^2|α>= 3/4*h^2|α> (|α>を|β>としてもよい),および[S_a・S_a,S・S](=[S_a・S_a,S_a・S_a+S_b・S_b]=[S_a・S_a,S_a・S_a]+[S_a・S_a,S_b・S_b]=0+0)=0からS_a・S_aとS・Sには同時固有関数が存在し,|ψ>はその同時固有関数のひとつとなり次式を満たす。  S_a・S_a|ψ>=3/4*h^2|ψ> また,[S_a・S_a,S_b・S_b]=0より,|ψ>はS_b・S_bの固有関数でもあるから,  S_b・S_b|ψ>=3/4*h^2|ψ> も同時に成立する。従って, (S_a・S_a+2S_a・S_b+S_b・S_b)|ψ> =(3/2*h^2+2S_a・S_b)|ψ> すなわち, S・S|ψ>=(3/2*h^2+2S_a・S_b)|ψ> ここで問題より,S・S|ψ>=2*h^2|ψ>となることを用いれば, (3/2*h^2+2S_a・S_b)|ψ>=2*h^2|ψ> 解いて, S_a・S_b|ψ>=1/4*h^2|ψ> となる。 多分これで合ってると思うのですが,間違っていたらすいません。ポイントはスピン角運動量演算子についての固有方程式ですかね。

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