面積を求める問題

質問

先日、授業の小テストで「x^3+y^3=3axy, a > 0の第一象限にある部分で囲まれた、面積を求めよ。」
という問題が出題されました。
しかし、解法が全く分かりませんでした。
これはどのようにして解いていったらよいのでしょうか？
ご指南お願いいたします。

回答No.4

ei10 · ベストアンサー

元のパラメータ（媒介変数）表示でも解答方法は同じです。
基本的なところから説明します。

先ずパラメータ表示ではなく、y=f(x)というグラフを考えます。
このグラフについてｘがα～βまでの面積Ｓは、
ご存知の通り
S=∫（α→β）　f(x) dx
で求められます。コレは、
S=∫（α→β）　y dx　　　　…　(1)
と同じことです。
パラメータ表示の積分は要は、ｘについての積分ではなく
ｔ（媒介変数）についての積分なのです。
そこで、(1)をｔについて積分できるように変えるのです。
関数を、
x=X(t),y=Y(t)
とします。
先ず、範囲ですが、先ほどはｘの範囲でα～βまででしたが、
今度はｔにの範囲です。つまり、
α＝X（ｔ1）、β＝Y（ｔ2）としたとき、
ｔ1～ｔ2までという事です。

次にｙですが、これはそのままY（ｔ）にします。
最後にdxですが、最終的にはｔについての積分にしたいので、
最後はdtで終わるはずです。
しかし、dx　dtでは(1)の式と違うので、
こうします。
(dx/dt) dt
つまり
(dX(t)/dt) dt
そうすると、丁度dtを割ってかけて同じ式になりますよね？

まとめると
(1)は、
S=∫（t1→t2）　Y(t) (dX(t)/dt) dt　　　…(2)
となります。

今回の場合で具体的に考えます。
X(t)=3at/(1+t^3)
Y(t)=3at^2/(1+t^3)
の場合です。
コレを(2)に当てはめると（とりあえず範囲は無視して）
S=∫3at^2/(1+t^3) ｛3at/(1+t^3)｝' dt
ですよね。
今度は、ｔの範囲ですが、コレはちょっと難しくて
一回、X(t)=3at/(1+t^3)
をｔで微分します。そして
X'(t)=0のときのｔの値を求めるのですが、
というのも、普通の積分のときと同じで、
ループ部分の右端まで求めてそこまでから
下の部分を引かなくてはループ部分の面積を求められないからです。
（-45°回転すればこんな心配をしなくてもすみます。
また行列式を使った式は、こういうループがあるグラフこそふさわしく、
原点スタートで原点ゴール、そのときのｔをそのまま使えるのです。）

この積分が難しい重要な理由があります。
実はこの積分はｔを無限にしなければ原点に戻らないのです。
ですからこういう場合は一旦ｓまでと決めて積分して
最後にｓを無限まで飛ばします。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/seiyo.htm
このサイトのグラフを見ながら説明します。
ｔが-1～0になるにつれて、左の方からだんだん原点に
近づき、0のとき丁度原点です。
そして、そのままジェットコースターのように
下からくるんと行くんですが、次の原点に行くまでに
無限にかかるわけです。
ｔ＝-1のとき点は存在しません
ｔが-1より値が小さくなればなるほど
右の方から原点に近づき、（なんと左から右に飛ぶ！）
また無限かけて原点に近づきます。

無限を扱うのは面倒で結構繊細です。
ですからやはりこのグラフを-45°回転させて、
ｔが原点から1（端っこ）までを積分します。
そうすると求めたい面積の半分の値が
負の値で出てきます。（グラフの下側なので。）
最後に二倍すれば面積が出てきます。

回転方法は分かりますか？
（X(t),Y(t)）のベクトルに回転行列をかけるだけです。

言っていることが分からなかったりしたら、言ってください。

お礼

やさしく噛み砕いて説明してくださり、ありがとうございました。
大変よく分かりました！
いろいろと疑問点があたのですが、解消されました。
ちなみに回転行列は２行２列の正方行列で１行目がcos(-π/2),-sin(-/2)
２行目がsin(-π/2),cos(-π/2)を使えばよいのですよね？

回答No.5

ei10

回転行列は惜しいですね！

ええと－45°回転ですので、
cos(-π/4)　-sin(-π/4)
sin(-π/4) cos(-π/4)

つまり、

cos(π/4) sin(π/4)
-sin(π/4) cos(π/4)

となり、

1/√2　　　1/√2
-1/√2　　1/√2

となります。1/√2でくくったほうがいいかなぁとは思います。

お礼

あっ、π/4でしたね。完全なケアレスミスです。
指摘ありがとうございます。
数回に渡り、回答いただいてありがとうございました。

回答No.3

ei10

お待たせしました!!

美しいほう・・・結構てこずりました・・・orz

ええと、先ず美しいほうはaを使っていませんから、
aを使った式に直します。すると

x(t)=3a(1-t)(1-t^2)/2(1+3t^2)
y(t)=3a(1+t)(1-t^2)/2(1+3t^2)

このままだとちょっとやりにくいので
私はこの関数を-45°回転させました。
（しなくてもいいと思いますが・・・）

新しい関数（回転したもの）をX(t),Y(t)とすると、
X(t)=3a(1-t^2)/√2*(1+3t^2)
Y(t)=3at(1-t^2)/√2*(1+3t^2)
となり先ほどよりちょっとすっきりしますｗ

求める面積をＳとすると、
S=2∫(0→1)　Y(t) (dX(t)/dt) dt
となります。(0→1)はｔの値で、原点から端の
ちょっと丸まったところまでです。
なので、2倍にしています。
dX(t)/dtは普通の微分の式です。

早く言ってしまえば、コレを計算すれば出て来ます。
S=2∫(0→1)　Y(t) (dX(t)/dt) dt
の式は、
Ｓ=72a^2∫(0→1) t^2(1-t^2)/(1+3t^2)^3 dt
となります。
そして、∫(0→1) t^2(1-t^2)/(1+3t^2)^3 dt
の部分は1/48という値になります。
ここの計算は省略します。とてもじゃないけれど書けません・・・
積分の計算ですので頑張ってくださいｗ
参考までに…
http://www.wolframalpha.com/
のサイトに
Integral(t^2 (1-t^2)/(1+3t^2 )^3,{t,0,1})
を入れてenterを押してみてください。

つまり
Ｓ=72a^2*（1/48）
なので
S=3a^2/2

となるわけです。

あともう1つやり方があります。
行列式（外積）を使う方法です。
説明すると長いので、
http://imasen.net/gauss-green.htm
を見てください。
このサイトにad-bcという形が出てきますが
これば行列の行列式で
行列を
{（1,1）,(2,1),(1,2),(2,2)}={a,b,c,d}　　（ｎ行ｍ列）
としたときの行列式です。
また、関数ベクトルを（ｘ、ｙ）とし、
その関数の微分したベクトルを（ｘ’、ｙ’）とした場合は
{（1,1）,(2,1),(1,2),(2,2)}={x,y,x',y'}
と置きます。

分からなければまた質問してください・・・ｗ

お礼

ご解答ありがとうございました。
回転を用いて、式を簡単にする発想は自分にはなかったです。
勉強になりました！
行列を使った解き方もあるんですね。改めて数学の奥深さを感じました。
x=3at/t^3+1,y=3at^2/t^3+1の場合はどのように考えたらよいでしょうか？
細かい積分計算は自分でやれると思いますので、積分範囲と面積を導く∫を用いた一番最初の式を示していただけると幸いです。

回答No.2

ei10

No.1です。
ええと、必ずあの美しい方での解説を載せますから
待っていてくださいｗ

ちょっと時間がかかりそうですｗ

お礼

申し訳ないです。
こちらでもいろいろネットで調べている状況です。
宜しくお願いいたします。

回答No.1

ei10

この曲線は有名な曲線で「デカルトの正葉」と呼ばれます。
そして媒介変数表示のやり方がわかっています。
媒介変数表示さえ出来れば、面積を求められると思うので、
その参考になるサイトを載せておきます。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/seiyo.htm

媒介変数表示から面積を求められない場合は言ってください。

ちなみに、面積は3a^2/2となります。

お礼

ご解答ありがとうございます。
面積を求める方法として、参考サイトにある、美しいほうの媒介変数表示を用いて、どのように積分をすればよいのでしょうか？