平面図形問題 円と円の交差部分面積

質問

こんにちは＾＾

先日友人から平面図形問題を出題されたのですが、出題した本人も解答がわからず、周りに解ける人もいなかったためすごくモヤモヤしています＞＜；

画像のAの面積を求めよという問題です。
格子1マスがaと取っていただいて構わないと思われます。

また噂で難関中学の入試問題と聞いたので、できるならば積分を用いない解法をご教授願います。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

中学問題としては無理かと思いますが？

求め方)

添付図のように記号を割りふると
求める黄色の三日月形図形AMBILGの面積Sは
S=2(扇形CLGA+△OAC-扇形OMA)　...(★)
で求められます。

△OACで余弦定理より
　cosθ=(OA^2+OC^2-AC^2)/(2OA*OC)=(4a^2+2a^2-a^2)/(2*2a*√2a)
=5/(4√2)=5√2/8
　sinθ=√14/8
AD=2a*sinθ=√14a/4
OD=2a*cosθ=5√2a/4
CD=OD-OC=5√2a/4 -√2a=√2a/4
　sinΦ=AD/AC=√14/4
扇形CLGA：S1=AC*AC*Φ/2=Φa^2/2
△OAC=OC*AD/2=√2a*√14a/8=√7(a^2)/4
扇形OMA=OA*OA*θ/2=θ(2a)^2/2

(★)より
　S=2(扇形CLGA+△OAC-扇形OMA)
　　=2(Φa^2/2 +√7(a^2)/4 -θ(2a)^2/2)
=(Φ+√7/2-4θ)a^2
　 =(sin^-1(√14/4)+(√7/2)-4sin^-1(√14/8))a^2
={(√7/2)-sin^-1(23√14/128)}a^2
≒0.58552503812139a^2

お礼

分かりやすい図と説明ありがとうございます！
お陰様で理解することができました＾＾
余弦定理とかすっかり忘れてましたorz

やはり中学問題という噂は嘘だったみたいですね＾＾；
またよろしくお願いします！