平面図形を横（縦）にk倍したら面積もk倍？

質問

今やってた高校数学の問題集に

「平面図形ならどんな図形だろうと縦（横）にk倍した時に面積もk倍される」

みたいな事が解答の経過で平然と書かれてるのですが、どなたか証明を教えて頂けないでしょうか？
高校数学の範囲でお願い致します。

回答No.5

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

面積の素朴な定義はこうです。

ある単位（1cm×1cm なら、１ヘーホーセンチ）の升が、その図形の中に何個（場合によっては小数点を含む）入っているか。

つまり、10ヘーホーセンチの図形の中には、1cm×1cm の升が10個入っているのが見えるわけです。
これを縦にｋ倍します。
中に入っている升目も一緒に縦に伸びます。ただし、数は変わりません。

縦に３倍したとすると、もとも、1cm×1cm の升目が10個入っていたのが、3cm×1cm の升目10個に変わるわけです。

つまり、面積は、３倍になります。

お礼

その1cmX1cmの部分を超微小にすれどんな形の図形にも対応できそうですね。分かりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.6

sanori

なーに、簡単なことですよ。

ＸＹ座標系で、

・Ｘ軸とＹ軸のいずれか一方の目盛間隔をｋ倍にしてから、図形を描く。

もしくは

・図形を描いてから、Ｘ軸とＹ軸のいずれか一方の目盛間隔をｋ分の１にする。

どっちにしても、この後は簡単。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

take008

三角形なら横にｋ倍したら面積がｋ倍になるのはいいと思います。もし気になるなら，一辺が水平の三角形に制限してもいいです。それなら問題ないですね。

多角形（凸でなくても凹でもよい）の場合，（一辺が水平な）三角形に分割できるので，横にｋ倍すれば面積もｋ倍になります。

一般の図形の場合周上にｎ個の点をとって線分で結んだｎ角形を考えると，横にｋ倍した時ｎ角形はｋ倍になります。ｎの数を多くすれば元の図形との誤差がいくらでも小さくなりますから，元の図形もｋ倍になります。

お礼

区分の考え方は無敵ですね。確かにそれならどんな図形でも3角形になると考えてよさそうです。ありがとうございました。

回答No.3

tarame

積分で考えると
ｙ＝f(x)とx軸、直線x＝a,x＝b で囲まれた部分の面積は
Ｓ＝∫[a,b]f(x)dx ですよね。

縦にｋ倍した図形(グラフ)は、ｙ＝k・f(x) だから
面積は　∫[a,b]k・f(x)dx＝k∫[a,b]f(x)dx＝kＳ

横にｋ倍した図形(グラフ)は、ｙ＝f(x/k)，直線x＝ka,x＝kb だから
t＝x/k とおくと dx＝k・dt ｘ:ka→kb のとき　ｔ:a→b
面積は　∫[ka,kb]f(x/k)dx＝∫[a,b]f(t)k・dt＝k∫[a,b]f(t)dt＝kＳ

こんな感じでも確認できますが......一般的ではないですね。

お礼

確かに高校の積分でいけますね。ありがとうございました。

回答No.2

corpus

三角形が縦(横)にｋ倍されたら面積もｋ倍されることを証明できればよいと思います。
そしてどんな平面図形も分割すれば三角形になることを証明できればよいと思います。

お礼

どんな図形も分割すれば三角形になるっていうのが初耳でしたが、上の方の回答と一緒に考えれば納得です。ありがとうございました。

回答No.1

gengen4

高校数学って…数IIIの区分求積でもよければ証明できますが。
平面図形を無数に区切っていてそれを全部たすのが区分求積なわけで、そのひとつひとつがK倍されるので、区分求積で考えれば、全体の面積がｋ倍の面積になるのは当然です。Σを使った計算とかで詳しく証明したいけどつらいので自粛。

区分求積なしでって言われたら証明しにくいですね。やっぱ積分で証明するんですかね？

あれ円って縦にｋ倍したら面積ｋ倍になんのかな？ってふと疑問に思ったけれど、半径１の円をｋ倍して楕円を作って面積もとめたらｋπになりました。
やはり証明は区分求積でしょう…

お礼

実は僕がひっかかってたのも楕円を円に直して考えるっていう問題で、y軸方向にk倍したら面積もk倍で…っていう内容でした。確かに区分求積でΔxがkΔxになったら積分すると面積がk倍になりますね。ありがとうございました。