図形で囲まれた面積について

質問

xy平面状において
x^4+y^4=ax^2y (a>0)
によって囲まれる図形の面積を求めよ。

この問題の解き方をお願いします。

回答No.3

info22

#1,#2です。
S=∫[0,π/2] f^2(θ)dθ
I=∫f^2(θ)dθの不定積分が難しければ
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
で不定積分サイトで積分してくれますので積分の参考にして下さい。
積分変数をθ=xとおきかえて
I=∫(cos(x))^4*(sin(x))^2/((cos(x))^4+(sin(x))^4)^2dx
積分して見てください。

不定積分の別の方法として
I=I1+I2+I3
I1=-(1/8)∫(tan(x))'*{1-(tan(x))^2}/{1+(tan(x))^4}dx
I2=(1/8)∫(tan(x))'*{1+(tan(x))^2}/{1+(tan(x))^4}dx
I3=(1/4)∫(tan(x))'*(tan(x))^2*{3-(tan(x))^4}/{1+(tan(x))^4}dx
と分割して積分するやり方もあります。

参考URL：

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

回答No.2

info22

#1です。

追加ヒントです。
A#1の積分の中の
f^2(θ)を簡単な式にするには
以下の公式を何回も繰り返し適用して
sin^2(A)+cos^2(A)=1
2cos^2(A)=1+cos(2A)
2sin^2(A)=1-cos(2A)
2sinAcosA=sin(2A)
べき乗の乗数ができるだけ少ない式に変形してください。

その後、積分して下さい。
A#1のようにグラフはY軸対称ですから
0～πまでの積分は
0～π/2までの積分を求め、2倍すれば良いでしょう。

自力解答を作成し補足に書いてください。

補足

すみません、どう解いたらいいのかすらわからなかったので。

f^(θ)に公式を適用して簡単にするということで、色々と試してみたのですが、どうにも詰まってしまってできません。

他にtan(θ/2)=tとおいて積分する方法や、4次方程式と考えて積分する方法も試したのですが、次数が高くなってしまったり2重根号が外せなかったりして積分できませんでした。

回答No.1

info22

質問する場合は自力解答を書いて分からない箇所だけ質問してください。

ヒントだけ
x=r*cos(θ),y=r*sin(θ)とおいて極座標のグラフに直すと
r=f(θ)=a^2*cos^2(θ)sinθ/(cos^4(θ)+sin^4(θ))
極座標の面積の公式を使って
S=2*(1/2)∫[0,π/2] f^2(θ)dθ
=3(√2)π(a^2)/16