グラフの求め方

質問

お世話になります。
先日微分積分学の授業の小テストで
「z=1-x-yのグラフを求めよ。ただし範囲は0≦x、0≦y、x+y≦1とする。」
というものがありました。

解説がよく分からなかったので、解法が分かる方、ご指導お願いいたします。
ちなみに、自分で考えたところ、平面になるのではないかと予想しているのですが、やはりテストの解答には考え方の根拠がいるので、解法を指南していただけると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

z=1-x-yの3次元のグラフは0≦x、0≦yを満たす任意の(x,y)の組を与えるとzの座標が一意的に１つだけ決まります。このことから、この(x,y)を連続的に変化させていくとz=1-x-yから求められる1つのz座標とで決まる3次元の座標点(x,y,z)は3次元の面（一般的には平面を含む曲面）Mを構成することが分かる。この曲面Mとxyzの各座標軸との交点の座標はどれか2つの座標をゼロとすることよって得られる。z=1-x-yの式から、x軸との交点座標Aは(1,0,0),y軸との交点座標Bは(0,1,0),z軸との交点座標Cは(0,0,1)が求められる。条件x+y≦1はz=1-x-yの関係から求めた関係x+y=1-zを代入すれば1-z≦1すなわち 0≦zとうい条件と等価であることが分かる。
したがって、範囲の条件「範囲は0≦x、0≦y、x+y≦1」は曲面z=1-x-yの「0≦x、0≦y、0≦z」の範囲に切り取られた部分曲面（曲面Mの一部）と言える。これを部分曲面Nと呼ぶこととする。
一般に平面は3点の座標を与えると一意的に確定する。したがって、N上の3点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)を頂点とする△ABCの境界を含む内部で構成される部分平面Lを考えると、この部分平面L上の任意点(x,y,z)が満たす方程式がz=1-x-yと一致することを示せば部分平面Lと部分曲面Nが一致、つまり同じ部分平面だということが証明できる。
三角形△ABC上の任意点P(x,y,z)は、ベクトルの媒介変数表現を使って
CP↑=OC↑+sCA↑+tCB↑(ただし、0≦s≦1,0≦t≦1,s+t≦1)…(★)
ここで、OC↑は点Cの位置ベクトルとする。ベクトルを媒介変数s,tを使った成分表現で表せば（★）のCP↑=(x,y,z)の式は次のように書き換えられる。
(x,y,z)=(0,0,1)+s{(1,0,0)-(0,0,1)}+t{(0,1,0)-(0,0,1)}
=(s,t,1-s-t)(ただし、0≦s≦1,0≦t≦1,s+t≦1)
成分を書き下せば
x=s,y=t,z=1-s-t(ただし、0≦s≦1,0≦t≦1,s+t≦1)…(●)
この成分式から媒介変数を消去すれば　z=1-x-y　…(■)
また点Pが△ABCの周および内部に存在するためのs、tの条件
0≦s≦1,0≦t≦1,s+t≦1を（●）x,y,zを使って書き換えれば
0≦x、0≦y、0≦z(あるいはx+y≦1)…（□）
となる。
つまり、△ABCの周および内部で構成される部分平面
が(■)（（□）の範囲）の式で与えられることが導かれた。
これが問題で与えられた部分曲面Nと一致することが証明されたことになる。

平面のグラフは部分平面で、3点点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)を頂点とする正三角形（一辺の長さ√2）△ABCの周及び内部で構成されるので簡単に描けるので、ご自分で描いてみてください。

お礼

分かりやすい解答ありがとうございます。
丁寧にベクトルを用いた証明をしていただいたので、ばっちり理解できました。
どうもありがとうございました！

回答No.2

hugen

(x,y)=(0,0) 代入　z=1 . 点A(0,0,1) とする。
x=0 代入　z=1-y　.　これは、yz平面との交わりで、
yz平面上でのグラフの方程式になる。　　点C(0,1,0)　とする。
y=0 代入　z=1-x.　これが、yz平面との交わりの方程式で、点B(1,0,0)　とする。
二直線AB,ACを通る平面を考える。
平面ABC上の点Pの座標を(x,y,z) とする。
点Pを通り、xy平面に平行な平面と平面ABCとの交線は、直線ABに平行であり
点Pを通り、yz平面に平行な平面と平面ABCとの交線は、直線ACに平行である。
点C(0,1,0)から点Pに至るには、順に x軸方向にx,z軸方向に-x、y軸方向にy,z軸方向に-y
移動すればよいから 　z＝1-x-y
これが、平面ABC上の方程式である。

お礼

ご丁寧に解説ありがとうございました。
参考にさせていただきます。

回答No.1

noname#125931

問題のグラフは平面の一部です。
一部であるのは不等式制約があるからです。
したがって、平面について見当をつけた上で不等式を満たす部分を描けば良いと思います。
平面を特定する1つの方法はそれが含む異なる3つの点を図示することです。
例えばその平面とx,y,z軸との交点です。
例えばx軸はy=0,z=0を満たす点だから交点はすぐ見つかります。

お礼

ご解答ありがとうございます。
やはり、交点を３つ探せばよいのですね。
x,y,z軸の交点が一番単純で分かりやすいのでその線で解きたいと思います。
解答ありがとうございました。