サイコロの目に関する確率の問題

質問

はじめまして。

１個のサイコロを３回投げたとき、最大値が５，最小値が１となるときの確率を求めよ。
という問題があったとします。
これは最大値最小値の問題なので、目の出る順番は関係ありません。
というわけで、『5が出る場合』『１が出る場合』『１～５の任意の目が出る場合』の３つの場合にわけで
それぞれの出る確率と、順番（階乗）を取り、表しました。

(1/6)*(1/6)*(5/6)*3!=5/36

しかしここで疑問が出てきました。
確かに、任意の数字が2,3,4であればこれは成り立つと思うのですが・・・
この任意の数字が他の数字とかぶるとき（1,5となるとき）、3!ではなく、3!/2!を掛けることで確率が出るのではないか？と・・・
ということは、この場合はそれぞれの場合に関して場合分けが必要なのではないか？と・・・

私の想定は正しいでしょうか？
また、正しいとすれば、例えば「サイコロを６回投げたときに、最大値１，最小値５となる確率」などというように、サイコロを投げる回数が増えれば増えるほど、この算出方法は複雑になるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

＞私の想定は正しいでしょうか？

正しいです。
サイコロを３回投げたとき、最大値が５，最小値が１となるときの組み合わせは、順番を考えなければ、
1,5,1
1,5,2
1,5,3
1,5,4
1,5,5
の５通りですが、順列は「1,5,1」と「1,5,5」は３通り、それ以外は６通りなので、計２４通りとなり、確率は、
24/6^3=1/9
これを計算だけで出すには、
(5^3-2*4^3+3^3)/6^3=1/9
となります。

サイコロを６回投げたときに、最大値１，最小値５となる確率は、
(5^6-2*4^6+3^6)/6^6
で計算できます。

お礼

ありがとうございます。
改めてベン図を書きなおし解いてみたら、解答が等しくなりました！