確率の問題

質問

3個のさいころを同時に投げるとき、次の確率を求めなさい。
(1)　出る目の最大値が5である確率
(2)　出る目の最大値が5、最小値が3である確率
という問題です。解説を見てもわからない部分がありました。解説をお願いします。
解説は以下の通りです。

(1)最大値が5以下である確率から、最大値が4以下になる確率を引く
（5／6）＾3　－　（4／6）＾3
＝61／216
となっています。
どうして、最大値が5以下である確率から、最大値が4以下になる確率を引く　と考えるのでしょうか？解説おねがいします。

(2)出る目が3と5のとき
3が2回、5が1回のとき　3通り
3が1回、5が2回のとき　3通り
出る目が3、4、5のとき　3！＝6通り
よって
（３＋３＋６）/216＝１／18
となっています。
なぜ、出る目が3、4、5のときを考えるのでしょうか？解説お願いします。

回答No.2

j-mayol

＞どうして、最大値が5以下である確率から、最大値が4以下になる確率を引く　と考えるのでしょうか？解説おねがいします。
真正面から最大値が５になる確率を求めると複雑になるため。

＞なぜ、出る目が3、4、5のときを考えるのでしょうか？解説お願いします。
さいころを３個振って出る目の最大値が5、最小値が3であるのは、目の出方が355　533　345　の３パターンがあるから。

回答No.1

aqfeplus

この手の問題は、お題を満たす条件を抜けなくダブりなく考えるのがコツなんです。

＞(1)どうして、最大値が5以下である確率から、最大値が4以下になる確率を引く　と考えるのでしょうか？
なぜ考えるのか、といわれると、
この方法が分かりやすくて抜けやダブリが少なくできる考え方だからでしょうね。

（5／6）＾3というのはサイコロの目が、「最大値が5以下である確率」つまり、
「最大値が１である確率」＋「最大値が２である確率」＋「最大値が３である確率」
＋「最大値が４である確率」＋「最大値が５である確率」
ということなんです。そこから「最大値が４以下である確率」を引くと、残るのは
「最大値が５である確率」となって、お題達成となります。

なお、別にこの手法以外にも回答を求める方法はあります。
極端な事を言えば、サイコロの目がでる２１６通り全てを書き下して、最大値が５になるのは６１通り、だから、６１／２１６、という回答でもいいんです。
スマートではないのですけどね。

＞(2)なぜ、出る目が3、4、5のときを考えるのでしょうか？
「3、4、5のとき」が、お題の「出る目の最大値が5、最小値が3である」ことを満たすからです。
この問題を見たときに、まず考えるべきなのは、「出る目の最大値が5、最小値が3である」とは
どういうことなのかを抜けなくダブりなく考えることです。

この場合は、「３と５の目だけ出ること」と「３，４，５の目が出ること」が、「出る目の最大値が5、最小値が3である」ことの全てとなります。