サイコロの確率の問題です

質問

サイコロを１２回振って少なくとも一つの目が
一回だけでる確率の求め方を教えて下さい。

サイコロを１２回振って１の目が一回だけでる確率は
反復試行の確率に当てはめて
(1)
12C1x(1/6)^1x(5/6)^(12-1)=12x5^11/(6^12)≒0.27となります。
ここに12C1は１２から１つをとる組み合わせ
＾は乗数を示すものとします。
(1)の解が違っている場合も教えて下さい。

少なくとも一つの目が1回だけでる確率は
この６倍とすると１を超えてしまうのでどこかで
考え方が違っています。
１が１回だけでる事象と２が１回だけでる事象
は独立事象のように思えますがそうではないらしい。

よろしくお願いします。

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

ある１つの目が1回だけでる確率は、
12C1×(1/6)^1×(5/6)^(12-1)=12×5^11/(6^12)

これを拡張して、あるk個（1≦k≦5）の目が1回だけでる確率をp(k)とすると、
p(k)=12Pk×(1/6)^k×((6-k)/6)^(12-k)=12Pk×(6-k)^(12-k)/6^12

少なくとも一つの目が1回だけでる確率は、
6C1×p(1) - 6C2×p(2) + 6C3×p(3) - 6C4×p(4) + 6C5×p(5) ≒ 0.879292

お礼

回答有り難うございます。
また多くの方に回答いただき有り難うございました。
N04さんには別解までいただきました。
割と大きな数字になると感心しております。
重ねててお礼申し上げます。

回答No.12

ferien

ＡNo.9です。　ＡNo.10さん　回答ありがとうございました。

ある１つの目が２回だけでる確率
ある２つの目が１回だけでる確率

＞この違いが分かりますか？
＞前者は、12C2×(1/6)^2×(5/6)^10
＞後者は、12C1×11C1×(1/6)^1×(1/6)^1×(5/6)^10＝12P2×(1/6)^2×(5/6)^10

式の違いの意味は分かりました。
問題の捉え方が違うなと思って少し考えていて、自分の間違いに気がつきました。

１～６の目までが１２回のうち必ず１回ずつは出なければならないと思っていたのですが、
「少なくとも一つの目が1回だけ」でる確率を考えた場合、６種類ともが１回だけ出ることはあり得ないので、問題の捉え方を間違えていました。
（「少なくとも一つの目が1回」でる確率と勘違いしていました。）

よく分かりました。ありがとうございます。

回答No.11

nag0720

＃８の訂正

Aのインデックスが逆になっていました。

これからA(12,1),A(12,2),・・・,A(12,6)を求めると、
A(12,1)=6
A(12,2)=61050
A(12,3)=8917920
A(12,4)=109078200
A(12,5)=137214000
A(12,6)=7484400

回答No.10

nag0720

＃９＞12Ｐkは、普通は12Ｃkだと思うのですが、なぜこのように変わるのでしょうか？

ある１つの目が２回だけでる確率
ある２つの目が１回だけでる確率

この違いが分かりますか？
前者は、12C2×(1/6)^2×(5/6)^10
後者は、12C1×11C1×(1/6)^1×(1/6)^1×(5/6)^10＝12P2×(1/6)^2×(5/6)^10

拡張前の式も、12C1＝12P1　ですから、変わったわけではありません。

ついでに、＃８のちょっとした訂正を。

A(n,k)=k*A(n-1,k) + (7-k)(n-1)*A(n-2,k-1) (k>1)
↓
A(n,k)=k*A(n-1,k) + (7-k)(n-1)*A(n-2,k-1) 　(n>2、k>1)

回答No.9

ferien

ＡNo.6さん　ありがとうございます。

No.3 は、引き過ぎを補正する点に気づいているが、実は
あの式では、補正するために足した分が足し過ぎになっていて、
更に補正が必要になる。ベン図で集合が３個あるやつを書いて、
どれか１個だけの集合に含まれる要素の個数を数えるためには
中央の三個ともの集合に含まれる要素の個数をどう扱えばよいか
＞考えてみれば解かるかと思う。今回は、集合が６個あるのだ。

考え直してみました。

「少なくとも一つの目が1回だけでる場合」の否定
＝6Ｃ1・５^12－6Ｃ2・４^12＋6Ｃ3・３^12－6Ｃ4・２^12＋6Ｃ5・１^12
＝１２２３７５２８９６通り
（６つの集合は難しいです。本当にこうなるかは？）
少なくとも一つの目が1回だけでる確率
＝（６^12－１２２３７５２８９６）／６^12
≒0.43781……　になりました。

回答者なのに何なのですが、質問をお願いしたいです。
ＡNo.6さんへ
＞1-(求める確率) = {(6C1)q(1)-(6C2)q(2)+(6C3)q(3)-(6C4)q(4)+(6C5)q(5)} + R,
＞q(k) = (1-k/6)^12,,
＞R = (12C2)(10C2)(8C2)(6C2)(4C2)(2C2)/(6^12).
の計算結果を数値で教えて頂きたいです。
（計算してみたところ、0.4343……となりました。こちらの計算ミスかもしれないので、
　本当のところを知りたいです。）
ＡNo.4さんへ
＞これを拡張して、あるk個（1≦k≦5）の目が1回だけでる確率をp(k)とすると、
＞p(k)=12Pk×(1/6)^k×((6-k)/6)^(12-k)=12Pk×(6-k)^(12-k)/6^12
12Ｐkは、普通は12Ｃkだと思うのですが、なぜこのように変わるのでしょうか？
参考までに教えて頂きたいです。

質問者さんのためにも、できれば回答して頂ければありがたいです。

回答No.8

nag0720

＃４です。

別解を。

さいころをn回振ったとき、k種類の目が出て、どの種類も２つ以上でている組み合わせの数をA(n,k)とすると、
A(1,1)=A(1,2)=A(1,3)=A(1,4)=A(1,5)=A(1,6)=0
A(2,2)=A(2,3)=A(2,4)=A(2,5)=A(2,6)=0
A(n,1)=6　(n>1)
A(n,k)=k*A(n-1,k) + (7-k)(n-1)*A(n-2,k-1) (k>1)
の漸化式が成り立ちます。

これからA(1,12),A(2,12),・・・,A(6,12)を求めると、
A(1,12)=6
A(2,12)=61050
A(3,12)=8917920
A(4,12)=109078200
A(5,12)=137214000
A(6,12)=7484400

求める確率は、
1-{A(12,1)+A(12,2)+A(12,3)+A(12,4)+A(12,5)+A(12,6)}/6^12 ≒ 0.879292

回答No.7

alice_44

しまった。
R = (12C2)(10C2)(8C2)(6C2)(4C2)(2C2)/(6^１２).

回答No.6

alice_44

いろんな答えが出ているな。
No.5 は、No.2 に説明した「独立でない」事情を考慮してない。
No.3 は、引き過ぎを補正する点に気づいているが、実は
あの式では、補正するために足した分が足し過ぎになっていて、
更に補正が必要になる。ベン図で集合が３個あるやつを書いて、
どれか１個だけの集合に含まれる要素の個数を数えるためには
中央の三個ともの集合に含まれる要素の個数をどう扱えばよいか
考えてみれば解かるかと思う。今回は、集合が６個あるのだ。
No.4 の下の式がいくつかの項を足したり引いたりしているのは、
六重に補正の補正を繰り返している訳だ。参考↓
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/number4.htm
No.4 が正しいと思う。

あるいは、二番煎じだが、p(k) を考える替りに、
ある k 個(1≦k≦5)の目が一回も出ない確率 q(k) を考え、
(少なくとも１つの目が一回だけ出る)の否定 ⇔
(少なくとも１つの目が一回も出ない)または(全ての目が二回以上出る)
という関係から、
1-(求める確率) = {(6C1)q(1)-(6C2)q(2)+(6C3)q(3)-(6C4)q(4)+(6C5)q(5)} + R,
q(k) = (1-k/6)^12,,
R = (12C2)(10C2)(8C2)(6C2)(4C2)(2C2)/(6^6).
とする手もある。
R は、(全ての目が二回以上出る) ⇔ (全ての目が丁度二回出る) の起こる確率。

回答No.5

noname#175206

合ってますよ。
　12個のサイコロを一度に振る、でもいいです。
　1が出るのが1/6、他は1以外で5/6。それが12個のサイコロだから12通りある。
　1/6×(5/6)^5×12＝0.269175971≒0.27ですね。間違いありません。

　エクセルの乱数を使ってシミュレーションしてみると、何度やっても0.27近辺になります。
　大丈夫でしょう。……多分。orz

回答No.3

ferien

サイコロを１２回振って少なくとも一つの目が
>一回だけでる確率の求め方を教えて下さい。

サイコロを１２回振って１の目が一回だけでる確率は
反復試行の確率に当てはめて
(1)
12C1x(1/6)^1x(5/6)^(12-1)=12x5^11/(6^12)≒0.27となります。
ここに12C1は１２から１つをとる組み合わせ
＞＾は乗数を示すものとします。
合ってると思います。

１を除く目が出る確率＝５／６で、それが１２回で（５／６）^12
１の目だけ出る確率＝１／６で、１２回で（１／６）^12
どちらも２～６の目の場合も同じ確率だから、
少なくとも一つの目が一回だけでる確率は、
１－６×（５／６）^12＋６×（５－１）×（１／６）^12≒0.3270
６×（５－１）×（１／６）^12の部分は、
２を除く目が出る場合～６を除く場合まで、１の目だけ出る場合が５回出てくるので、
多く引きすぎている４回分を０にするために、足しています。（これも２～６の目まで同じ）

でどうでしょうか？
間違ってたら指摘して下さい。（正解が分かっていれば知りたいです。）

回答No.2

alice_44

(1)は正解だが、「１が一回だけ出る確率」と
「２が一回だけ出る確率」が 独立なワケがない。
もし独立であれば、「１～６の各目が一回づつ
出る確率」が (1)の答えの６乗になってしまう。
１２回振るのだから、「各目が一回づつ出る」
なんて起こり得ない(確率０)なのに。

では、正しい答えはというと…難しいね。
考え中。