三次関数の利用題

質問

以下問題文です。

3次関数y=x^3-3x^2-9xにおいて，x=[(1)]のとき，極大値[(2)]をとる。
このとき，この点を通る直線y=a(x-[(1)])+[(2)]を考える。
3次関数とこの直線の他の交点を求めるには，
2つの式を連立させて出てきた3次方程式を解けばよい。
このとき，([(1)]，[(2)])を交点にもつので，この式は(x-[(1)])で割り切れる。
よって，(x-[(1)])(x^2-[(3)]x-[(4)]a-[(5)])=0のようになる。
3次関数と直線が異なる2点以上で共有点を持つのは，
[(6)]≦aのときである。
異なる2点で共有点を持つときのaの値のなかで，一番大きいものを考える。
このとき，この直線と3次関数で囲まれた部分の面積は，[(7)]である。

解いてみたところ，増減表により
(1)-1(2)5
となり，因数定理によって
(3)4(4)1(5)5
となりました。

しかし，その後の文章がとらえにくく
“3次関数と直線が異なる2点以上で共有点を持つ”
という問題文を判別式をあてはめると解釈し
(6)-9
としました。
その上で，“aの値のなかで一番大きいもの”の
見当がつかず滞っています。

どなたか訂正及びご教授頂きたいと思います。
何卒宜しくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)から(5）は合っています。

(6)については
(x-[(1)])(x^2-[(3)]x-[(4)]a-[(5)])=0
つまり
(x+1)(x^2-4x-a-5)=0
の(x^2-4x-a-5)=0…(A)がx=-1以外の実数解を持てば3次方程式は２つ以上の実数解をもつといえます。
(A)の判別式D/4=4+(a+5)≧0　かつ　(A)がx=-1以外の実数解を持つこと
です。
これからa≧-9がでてきますので (6)の答えは「-9」となります。
(6)-9　で合っています。

(7)
>その上で，“aの値のなかで一番大きいもの”の
見当がつかず滞っています。

言われる通りでa≧-9でaはどれだけでも大きな実数値を取りえます。しかし「異なる2点で共有点を持つとき」とありますので、x=-1が重解のとき（このときa=0,異なる2点はx=-1（重解）とx=5の時）とx=-1以外の重解を持つとき（このときa=-9,異なる2点はx=-1とx=2(重解)）の2通り（2通りだけ）があります。
2通りのa=0,-9の大きい方（一番大きいもの）はa=0です。
このとき曲線y=(x+1)^2*(x-5)と直線y=0(x+1)+5=5で囲まれた面積Sは,-1≦x≦5の範囲にあり、この区間で直線の方が曲線の上にあるので、

S=∫[-1,5] {5-(x+1)^2*(x-5)}dx=∫[-1,5] {5-(x+1)^2*(x+1-6)}dx
=∫[-1,5] {5-(x+1)^3+6(x+1)^2}dx
= [5x-(1/4)(x+1)^4+2(x+1)^3](x=5)-[5x-(1/4)(x+1)^4+2(x+1)^3](x=-1)
= 25+(-3/2+2)6^3 +5
= 138

お礼

info22_さん，ご回答ありがとうございます。

「x=-1が重解のとき」と「x=-1以外の重解を持つとき」と換言すれば，
理解しやすく解答に直結しました。
グラフ上での確認もとれました。

非常に丁寧な解説ありがとうございました。