【命題「P→Q」における論理の相対性について 】

質問

命題「P→Q」を否定、論理和、論理積の記号で
表記した場合、

　(￢P)∨Q・・・(1)
　￢(P∧(￢Q))・・・(2)

となることが書籍に記載されておりました。
(「プログラマの数学」(ソフトバンククリエイティブ)に(1)
「論理と集合のはなし」(日科技連)に(2)
がそれぞれ掲載されていました。)

ベン図や真理値表も併せて記されていたため、
「P→Q」が上記、2つの式で表記できることまでは
理解できました。

ここで、(1)から(2)、(2)から(1)を導出する場合に、
どのような式変形をすれば
　(￢P)∨Q ≡ ￢(P∧(￢Q))
を証明できるのでしょうか？

ド・モルガンの法則を導出する際に使う
「論理の相対性」が大いに関係していると
（むしろ、「論理の相対性」そのもの？）
勘繰っているのですが、確証できません。

お知恵の拝借を頂けませんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

OMEGA309 · ベストアンサー

(￢P)∨Q・・・(1)
￢(P∧(￢Q))・・・(2)

まず(1)から(2)の導出について
　　二重否定は肯定と等しい・・・￢￢P＝P
であることを利用すると
　　(￢P)∨Q ＝ ￢￢((￢P)∨Q)
と表すことができます。次に、二重否定の一個だけを括弧の中に入れると
　　ド・モルガンの法則・・・P∨Q ＝ ￢P∧￢Q
により
　　￢￢((￢P)∨Q) ＝ ￢(￢(￢P)∧￢Q))
￢(￢P） ＝ P であることから
　　￢(￢(￢P)∧￢Q)) ＝ ￢(P∧(￢Q))
となり(2)が導出できます。

(2)から(1)の導出について、ド・モルガンの法則から外側の￢を外すと
　￢(P∧(￢Q)) ＝ ￢P∨￢(￢Q)
￢(￢Q) ＝ Q なので
　￢P∨Q
となり(1)が導出できます。

記号だらけでややこしくなりますよね・・・(-_-;)
こんな感じでいかがでしょうか。

お礼

ありがとうございます！！

ド・モルガンの法則を上手く使う方法も教えて頂き、
感謝のみならず感激しております。

>記号だらけでややこしくなりますよね・・・(-_-;)
>こんな感じでいかがでしょうか。
ややこしいですが、極めて解りやすかったです！

お忙しいところ、本当にありがとうございました。