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リーマンの曲率テンソルの分解と一意性について
eatern27の回答
- eatern27
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具体的な式を書くとかなり大変な事になってしまうので求め方だけ。 適当なテンソルT_αβγδが与えられたとしましょう。 まず、(αとγの交換について対称でなければ、 T_αβγδ → T_αβγδ + T_γβαδ のように置き換えてαとγについて対称化します。さらに T_αβγδ → T_αβγδ-T_βαγδ と置き換えればα,βの交換に関して反対称化し、同様にγとδについても反対称化します。 こうやって置き換えたら、リーマンテンソルと同じ対称性を持つテンソルになっています。 必要に応じてこのような置き換えを行う事にして、 置き換えを行った結果を(T_αβγδ+・・・)のように略記する事にします。 さて、S_αβを対称テンソル、a,b,・・・をスカラーとして、 T_αβγδ = a(g_αγ g_βδ + ・・・)S^μν R_μν + b(g_αγ S^μ_β R_μδ + ・・・) + c (S_αγ g_βδ + ・・・) R + d (S_αγ R_βδ + ・・・) のようにTを定義し、T^μ_βμδ を計算すると、 S^μ_μ R_βδ S^μ_μ g_βδ S_βδ R ( S^μ_β R_μδ + S^μ_δ R_μβ ) g_βδ S^μν R_μν たちの線形結合になります。 最後の3つの係数が0になるようにa～dを決定し、S^μ_μ=0を使えば T^μ_βμδ=0 が成り立つようなTが見つかるはずです。必要に応じて検算してください。
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