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高1数学です
mister_moonlightの回答
- mister_moonlight
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先ず、回答する前に良く問題を見る事。 (3)の設問を見ると、置き換えに気がつく。それに気がつかないと、＃1のような面倒な解になる。 (1) (x＋y－1)/(x－y)＝(y＋z－1)/(y－z)＝(z＋x－1)/(z－x)＝kとすると、x＋y－1＝k(x－y)、y＋z－1＝k(y－z)、z＋x－1＝k(z-x)。 これら3辺を足すと、x＋y＋＋z＝3/2. (2) x－1/2＝a、y－1/2＝b、z－1/2＝c とすると、(1)から a＋b＋c＝0 x^2＋y^2＋z^2＝(a+1/2)＾2＋(b+1/2)＾2＋(c+1/2)＾2＝(a+b+c)＾2-2(ab+bc+ca)＋(a+b+c)＋3/4＝3/4-2(ab+bc+ca)となる。 条件の式をa、b、cで求めると、k＝(a+b)/(a-b)＝(b+c)/(b-c)＝(c+a)/(c-a)であるから、(a+b)/(a-b)＝(b+c)/(b-c)より、b＾2＝ac、となるから 同様にして a＾2＝bc、c＾2＝ab 。 これら3つを足すと、a＾2＋b＾2＋c＾2＝ac＋bc＋ab であるから、ac＋bc＋ab ＝0 つまり、x^2＋y^2＋z^2＝(a+1/2)＾2＋(b+1/2)＾2＋(c+1/2)＾2＝(a+b+c)＾2-2(ab+bc+ca)＋(a+b+c)＋3/4＝3/4-2(ab+bc+ca)＝3/4 (3) 1/(x－1/2)^2＋1/(y－1/2)^2＋1/(z－1/2)^2＝1/a＾2＋1/b＾2＋1/c＾2＝1/bc＋1/ac＋1/ab＝(a+b+c)/(abc)＝0 b＾2＝ac、a＾2＝bc、c＾2＝ab に注意。
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