高1数学です

質問

(x＋y－1)/(x－y)＝(y＋z－1)/(y－z)＝(z＋x－1)/(z－x)
のとき

(1) x＋y＋z
(2) x^2＋y^2＋z^2
(3) 1/(x－1/2)^2＋1/(y－1/2)^2＋1/(z－1/2)^2

の値を解説お願いします。
(1)はわかったのでできれば(2)(3)をお願いします。
いくら考えてもまったくわかりません

回答No.4

mister_moonlight

ああ、不注意。これは↓とんでもないミス。

a＾2＝bc、b＾2＝ca、c＾2＝abだから掛けると　　abc≠0より　abc＝1

＃3は無視しといて。

回答No.3

mister_moonlight

この問題は、カテゴリーは高1だが、問題のレベルは高3でも可笑しくない。
問題の主眼は設問(3)なんだろうが、それなら解法は他にもある。

a＋b＋c＝ab＋bc＋ca＝0で、a＾2＝bc、b＾2＝ca、c＾2＝abだから掛けると　　abc≠0より　abc＝1
つまり、a、b、cは　t＾3－1＝(t-1)*(t＾2＋t＋1)＝0の3つの解。
従って、a＝1、b＝ω、c＝ω＾2　としても良いから　(ω＾2＋ω＋1＝0、ω＾3＝1)
1/a＾2＋1/b＾2＋1/c＾2＝1＋1/ω＾2＋1/ω＾4＝1＋1/ω＾2＋1/ω＝(ω＾2＋ω＋1)/ω＝0　となる。

これが、この問題の背後に隠されている事。

回答No.2

mister_moonlight

先ず、回答する前に良く問題を見る事。

(3)の設問を見ると、置き換えに気がつく。それに気がつかないと、＃1のような面倒な解になる。

(1)
(x＋y－1)/(x－y)＝(y＋z－1)/(y－z)＝(z＋x－1)/(z－x)＝kとすると、x＋y－1＝k(x－y)、y＋z－1＝k(y－z)、z＋x－1＝k(z-x)。
これら3辺を足すと、x＋y＋＋z＝3/2.

(2)　
x－1/2＝a、y－1/2＝b、z－1/2＝c　とすると、(1)から　a＋b＋c＝0
x^2＋y^2＋z^2＝(a+1/2)＾2＋(b+1/2)＾2＋(c+1/2)＾2＝(a+b+c)＾2-2(ab+bc+ca)＋(a+b+c)＋3/4＝3/4-2(ab+bc+ca)となる。
条件の式をa、b、cで求めると、k＝(a+b)/(a-b)＝(b+c)/(b-c)＝(c+a)/(c-a)であるから、(a+b)/(a-b)＝(b+c)/(b-c)より、b＾2＝ac、となるから　同様にして　a＾2＝bc、c＾2＝ab　。
これら3つを足すと、a＾2＋b＾2＋c＾2＝ac＋bc＋ab　であるから、ac＋bc＋ab　＝0
つまり、x^2＋y^2＋z^2＝(a+1/2)＾2＋(b+1/2)＾2＋(c+1/2)＾2＝(a+b+c)＾2-2(ab+bc+ca)＋(a+b+c)＋3/4＝3/4-2(ab+bc+ca)＝3/4

(3) 1/(x－1/2)^2＋1/(y－1/2)^2＋1/(z－1/2)^2＝1/a＾2＋1/b＾2＋1/c＾2＝1/bc＋1/ac＋1/ab＝(a+b+c)/(abc)＝0
b＾2＝ac、a＾2＝bc、c＾2＝ab　に注意。

回答No.1

gohtraw

んーと、自信があまりないのですが、
（１）
(x＋y－1)/(x－y)＝(y＋z－1)/(y－z)＝(z＋x－1)/(z－x)=k
とおくと
x+y-1=k(x-y)
y+z-1=k(y-z)
z+x-1=k(z-x)
この三つを辺々加えると
2(x+y+z)-3=0
x+y+z=3/2

（２）
(x+y-1)(y-z)=xy-zx+y^2-yz-y+z
(y+z-1)(x-y)=xy-y^2+zx-yz-x+y
与えられた元の式よりこの両者は等しいので
-zx+y^2-y+z=-y^2+zx-x+y
2y^2=2zx-x+2y-z　・・・(a)
同様に
2z^2=2xy-x-y+2z　・・・(b)
2x^2=2yz+2x-y-z　・・・(c)
(a)から(c)を辺々加えると
2(x^2+y^2+z^2)=2(xy+yz+zx)
2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx)=0　・・・(d)
(x+y+z)^2　に(d)を足すと
3(x^2+y^2+z^2)=9/4
x^2+y^2+z^2=3/4

（３）
x+y-1=3/2-z-1
　　　=1/2-z　⇒Pとする
同様に
y+z-1＝1/2-x　⇒Qとする
z+x-1=1/2-y　⇒Rとする
よって元の式の逆数をとり、さらに二乗すると
（ｘ－ｙ）＾２／Ｐ＾２＝（ｙ－ｚ）＾２／Ｑ＾２＝（ｚ－ｘ）＾２／Ｒ＾２
この値をｎとすると、求めるべき値は
ｎ／（ｘ－ｙ）＾２＋ｎ／（ｙ－ｚ）＾２＋ｎ／（ｚ－ｘ）＾２
通分すると分子は
ｎ（（ｙ－ｚ）＾２（ｚ－ｘ）＾２＋（ｘ－ｙ）＾２（ｙ－ｚ）＾２＋（ｚ－ｘ）＾２（ｘ－ｙ）＾２）
詳細は省きますがこれを計算すると
（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ）＾２
となり、（２）の（ｄ）からこの値はゼロ。

逆数をとったところで上記のＰ，Ｑ,Ｒの値がいずれもゼロではないことは問題の式、つまり
1/(x－1/2)^2＋1/(y－1/2)^2＋1/(z－1/2)^2
の各項の形から自明と思います。