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高1数学です
gohtrawの回答
- gohtraw
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んーと、自信があまりないのですが、 (1) (x+y-1)/(x-y)=(y+z-1)/(y-z)=(z+x-1)/(z-x)=k とおくと x+y-1=k(x-y) y+z-1=k(y-z) z+x-1=k(z-x) この三つを辺々加えると 2(x+y+z)-3=0 x+y+z=3/2 (2) (x+y-1)(y-z)=xy-zx+y^2-yz-y+z (y+z-1)(x-y)=xy-y^2+zx-yz-x+y 与えられた元の式よりこの両者は等しいので -zx+y^2-y+z=-y^2+zx-x+y 2y^2=2zx-x+2y-z ・・・(a) 同様に 2z^2=2xy-x-y+2z ・・・(b) 2x^2=2yz+2x-y-z ・・・(c) (a)から(c)を辺々加えると 2(x^2+y^2+z^2)=2(xy+yz+zx) 2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx)=0 ・・・(d) (x+y+z)^2 に(d)を足すと 3(x^2+y^2+z^2)=9/4 x^2+y^2+z^2=3/4 (3) x+y-1=3/2-z-1 =1/2-z ⇒Pとする 同様に y+z-1=1/2-x ⇒Qとする z+x-1=1/2-y ⇒Rとする よって元の式の逆数をとり、さらに二乗すると (x-y)^2/P^2=(y-z)^2/Q^2=(z-x)^2/R^2 この値をnとすると、求めるべき値は n/(x-y)^2+n/(y-z)^2+n/(z-x)^2 通分すると分子は n((y-z)^2(z-x)^2+(x-y)^2(y-z)^2+(z-x)^2(x-y)^2) 詳細は省きますがこれを計算すると (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)^2 となり、(2)の(d)からこの値はゼロ。 逆数をとったところで上記のP,Q,Rの値がいずれもゼロではないことは問題の式、つまり 1/(x-1/2)^2+1/(y-1/2)^2+1/(z-1/2)^2 の各項の形から自明と思います。
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