背理法について

質問

今、学校の数学で背理法というのをやっているのですが、はっきり言って高校でやったきた問題の中で一番難しいというほど困っています。一応説明では「その命題が成り立たないと仮定すると矛盾が生じる。したがって、その命題が成り立たなければならない」という説明なのですがだいたい言っている意味はわかります。でも、実際に使って問題を解いてみると全くと言っていいほどできません(汗　仮定したあとに文字が出てきてそれを2乗したりなどなど…　背理法というものはだいたいわかったつもりだったのですが実際に使ってみると全然できなくて…途中の文字を用いて証明するところなど「どうしてこうなるの？」みたいなところばかりで全然前に進みません。
例えば、「自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たすならばa,b,cのなかに必ず偶数があることを背理法を用いて説明せよ」とい問題なのですが、解答を見ると、a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cがすべて奇数であると仮定すると、とあります。
どうもこのあたりの否定の置き方というのがよくわからないのです。必ず偶数がある、というのがすべて奇数であるになるのがさっぱりです。この辺りは国語的なものかもしれないのですが、このあたりでかなり苦戦しています。どなたか背理法を説明していただける方などおられましたらご回答お願いできないでしょうか？よろしくお願い致します。

回答No.5

akireta

『否定の作り方』自体については、他の回答者の方々のご説明で完璧だと思います。でも、まだ締め切られていないので、少し別の面から回答させてもらいます。

>背理法というものはだいたいわかったつもりだったのですが
>問題を解いてみると全くと言っていいほどできません

　これは、背理法に対するあなたの理解度の問題ではないのではないでしょうか。
　あなたは、背理法自体は理解されているのです。

　私も背理法を習った時、『変だ』と感じました。そもそも、命題（Ｐ⇒Ｑ）を証明するのに（ＱでないのにＰなのは矛盾）つまり、（ＱでないのにＰなのはありえない）を示すのである。これは、実に卑怯な方法です。

　中学では、あまり『全体集合』に対して、神経質になっていません。背理法を通して、全体集合ってやつが、いかにズルくて、いかに便利かを思い知らされるのです。背理法の問題では、よく、命題（（ＡかつＰ）⇒Ｑ）として、Ａで全体集合が限定されています。しかし、中学までの癖で、命題（Ｐ⇒Ｑ）を考えてしまうのです。そうすると、（ＱでないのにＰなのは、結構あります）、これが背理法の卑怯なところです。実は、（Ｑでないのに（ＡかつＰ）なのはありえない）ようにするために、全体集合の制約Ａを付けているのです。つまり、その全体集合の要素に対して当然なりたつ公理や定理で縛っているのです。

　たとえば、（自然数は、偶数と奇数しかない）であったり、（実数の二乗は、０以上しかない）であったり、（或る一点を通る平行線は、唯一本しかない）だったりです。多くの問題では、これらの公理で縛らなければ、矛盾とは言えなくなってしまうのです。そこには、より大きな全体集合や理論が考え出されるヒントがあるのです。有理数であったり、複素数であったり、非ユークリッド幾何であったりです。

　つまり、大きな世界では、矛盾でもなんでもないことを、『矛盾だ、ありえないそ゜』というため、そのためだけに、小さな世界に限定して、命題を作っているのです。あるいは、大きな世界の全貌が良く分らないから、とりあえず、小さな世界に限定して、『命題は成り立つ』というのである。実に卑怯で姑息な手段です。でも、よく分らない、難しい問題に取り組む時、問題を切り分けて解いていく、あるいは、問題の本質を抽出するときには、有り難い方法です。

　上で言った公理や定理こそは、小さな世界しか知らない人にとっては、大きな世界への壁となる『先入観』であり、大きな世界の人からは、煩わしくもあり、便利でもある、『問題の本質』なのです。

　逆に、試験問題としての背理法の問題は、『全体集合は何か』を通して、『着眼すべき公理・定理は何か』を考えると、かえって、解答へのヒントになるのではないでしょうか。つまり、生徒にとっては、背理法の問題は、問題文に書かれている命題の『否定の作り方』を通して、問題文に書かれていない『着眼すべき公理・定理は何か』を問われているのです。それなのに、問題集などの解答例では、「そんな公理・定理は常識でしょう」とばかりに、ろくに解説していないのです。やっぱり卑怯だ。解答例や解説を見ても、何か違う、何か誤魔化されたような気がする、と思っている貴方、貴方は正しい。私も同感です。
　当時、私も先生に聞きました。そして、『君は否定文を知らないのかい』と嘲笑されました。やっぱり、背理法は姑息だ。でも、便利だ。（ 歳のせいか、少し興奮しすぎて、乱暴な表現が点在してしまった。ご寛容乞う(^^; ）