• ベストアンサー

数学

3つの文字X Y Zをn個並べるとき、Xを奇数個含む場合の数をf(n)とします。f(98) f(102)はいくつですか

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.1

3つの文字X Y Zをn個並べるときの数は、3^nですから、 Xを偶数個含む場合の数をg(n)とすれば、 f(n)+g(n)=3^n n個並べたときの最後の文字がXのときと、YかZのときに分けて考えると、 f(n)=g(n-1)+2f(n-1) この2つの式からf(n)だけの漸化式にして解けばf(n)の一般解が求められます。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 高校数学 場合の数の問題です。

     3 個のサイコロを一度に投げるとき、   奇数の目が少なくとも1つ出ると言う事象を X   6 の目が少なくとも 1 つ出ると言う事象を Y とする。 (1)X が起こる場合の数を求めよ (2)Y が起こる場合の数を求めよ。 (3)X または Y が起こる場合の数を求めよ。 (1) 「奇数の目が少なくとも1つ出る」 というのは 「3つとも偶数の目が出る」 の余事象なので   216 - 3^3 = 189. (2) 「6の目が少なくとも1つ出る」 というのは 「3つとも6以外の目が出る」の余事象なので   216 - 5^3 = 91 (3)  これは 「3つとも6以外の偶数が出る」  つまり 「3つとも2または4の目が出る」 の余事象なので   216 - 2^3 = 208  ここまではいいと思うのですが、n(X∩Y) を求めるにはどうしたらいいのでしょうか。   n(X∪Y) = n(X) + n(Y) - n(X∩Y) より   n(X∩Y) = n(X) + n(Y) - n(X∪Y)       = 189 + 91 - 208 = 72 となりますが、これでいいのでしょうか? n(X) + n(Y) が 216 を超えるので気になります。  X∩Y は奇数の目も 6 の目も少なくとも 1 つ出る事象ですから、直接求めようとして   K:奇数   @:1~6   (6, K, @) 3!*1*3*6 =  108 通り   (6, 6, K) 3C1*1*1*3 =  9 通り   (6, K, K) 3C1*1*3*3 =  27 通り としたのですが、上の結果と全然合いません(笑)。  考え方のおかしいところをご指摘くだされば幸いです。

  • 数学です

    (n+1)^2-n^2=2n+1を用いて次の問いに答えなさい。 (1)自然数tが2n+1=t^2をみたすとき、tは奇数であるから、t=2k+1とかける。このとき、nをkの式で表しなさい。 (2)k=3のとき、x^2+y^2=z^2をみたす自然数の組(x , y , z)を求めなさい。 (3)フェルマーの最終定理について述べなさい。 よろしくお願いします。ちなみにx^2というのはxの2乗という意味です

  • 数学Aの問題です。

    nが3以上の整数のとき、xのn乗+2掛けるyのn乗=4掛けるzのn乗はx=y=z=0以外に存在しないことを証明せよ。 x=y=z=0でない整数x、y、zで題意の式を満たすものがあると仮定する。~~~~~~ よって、題意の式を満たす整数x、y、zは全て2の倍数である。・・・・・・(1) x=2k、y=2l、z=2m(k、l、mは整数)として題意の式に代入すると、kのn乗+2掛けるlのn乗=4掛けるmのn乗となる。 よって整数k、l、mは題意の式を満たすから、 x、y、zが題意の式を満たせばx/2、y/2、z/2も題意の式を満たす。・・・・・・・(2) 仮定より、x、y、zのうち少なくとも1つは0でない。0でない整数は全て、2のp乗かける(2q-1){p、qは整数でpは0以上}の形に表される。よってx、y、z、の0でないものの内、2の指数pの最小のものをNとすると、x/2のN乗、y/2のN乗、z/2のN乗のうち少なくともひとつは奇数となる。 ゆえに、x、y、zは(2)により題意の式を満たすが、(1)を満たさないから矛盾する。 したがって、nが3以上の整数のとき、題意の式を満たす整数x、y、zは」x=y=z=0だけである。終。 この回答の(2)の下からをやることの持つ意味と、なぜ少なくともひとつは奇数になれば、ゆえににつながるかを詳しく教えてください

  • 式の証明

    x,y,z∈Nがx^(2)+y^(2)=Z^2をみたすとき (1)x,y.zの内少なくとも1つは偶数である。 (2)x,y,zの内少なくとも1つは5の倍数である。 (1)は、x,y,zすべてが奇数と仮定すると 奇数+奇数=偶数・・・・ で解いたのですが、 (2)においては、何個か数字を代入して規則性が (3n)^(2)+(4n)^(2)=(5n)^2 になるのは、分かりました。こんなやり方で解いて良いのでしょうか? 正式な解き方を教えてもらえないでしょうか? よろしくお願い致します。

  • 5-8 高校数学 場合の数

    nを正の整数とし,n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える、ただし1個のボールも入らない箱があってもよいとする 以下に述べる4つの場合について、それぞれ相異なる入れ方の総数を求めたい (1)1からnまで異なる番号のついたn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合その入れ方は何通りあるか (2)互いに区別のつかないn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合その入れ方は何通りあるか (3)1からnまで異なる番号のついたn個のボールを区別のつかない3つの箱に入れる場合その入れ方は全部で何通りあるか (4)nが6の倍数6mであるときn個の互いに区別のつかないボールを区別のつかない3つの箱に入れる場合その入れ方は何通りあるか 解説(1)は3^n通り (2)は[n+2]C[2]=(n^2+3n+2)/2通り (3)求める場合の数を次のように三分割する n個とも1箱だけにいれるもの・・・x通り n個を2箱に分散して入れるもの・・y通り n個を3箱に分散して入れるもの・・・z通り これらx,y,zと(1)との関係を考えると、まずx=1であり(1)ではこれを3通りと数えy通りの1つ1つを(1)では 3!通りと数えz通りの1つ1つを(1)では3!通りと数えている したがって x×3+(y+z)×6=3^nよって求める場合の数x+y+zは1+y+z=1+(3^n-1×3)/6={3^(n-1)+1}/2通り (4)3箱のボールの個数をa,b,c(a<=b<=c)としa=b=cをみたすもの・・p通り a=b<c or a<b=cをみたすもの・・q通り a<b<cをみたすもの・・r通り すると(2)の場合の数はp+3q+6r通りと数えられるからp+3q+6r=(n^2+3n+2)/2・・・(2) ここでp=1であり、またq通りは(0,0,6m),(1,1,6m-2),・・・、(3m,3m,0)の3m+1通りから(2m,2m,2m)の1通り を除いてq=3mである  よって(2)からr=1/6×{(36m^2+18m+2)-(1+3×3m)}=3m^2 以上により答えはp+q+r=3m^2+3m+1通り とあるのですが (3)のx,y,zが(1)で1や3!通りずつという所と x×3+(y+z)×6=3^n の所が何を意味しているのか分かりません (4)の解説で(2)の場合の数がp+3q+6rの所とr=1/6{}=3m^2 以上によりp+q+r=3m^2+3m+1通りというのが何でなのか分かりません

  • 高校数学の不等式の問題です

    nは25以上の定数、x,y,zは負でない整数でx+y+z=25のとき、(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)の最大値を求めよ 解説はたとえばx-z>=2とすると,yをそのままにし、xを1小さくzを1大きくすることによって与式をより 大きくすることが出来る、したがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるが そうなる{x,y,z}の組は{8,8,9}しかありえない  とあるのですが、x-z>=2とすると,yをそのままにし、xを1小さくzを1大きくすることによって与式をより大きくすることが出来るとありますが、これが何故そんな事が言えるのかまったく分からないです その後のしたがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるも何故なのか分かりません 是非とも詳しい解説のほうよろしくお願いします

  • 数学の宿題が解けなくて困っています。

    以下の数式の証明は、どうやったらいいですか? nが3以上の自然数のとき、 X^n + Y^n = Z^n となる、0以外の自然数X,Y,Zの組み合わせが存在しないことを証明しなさい。 パッと見、簡単そうに見えるのですが、昨日からずっと考えているのですが、どうしても解けません。 よろしくお願い致します。

  • 大学数学(線形代数III)の問題です

    (1)R^nを(Euclid空間とは限らない)内積空間とする。このとき0でないベクトルa1,a2,...,ar(1≦r≦n)が互いに直交するとき、これらr個のベクトル系は一次独立であることを証明せよ。 (2)次の連立漸化式の一般項x[n],y[n],z[n]を求めよ。   x[n+1] = 6x[n] - y[n] - z[n]   y[n+1] = 4x[n] - 8y[n] + 8z[n]   z[n+1] = 4x[n] - 7y[n] + 7z[n] わかるほうだけでもかまいませんので、どなたかお願いします。

  • 数学の微分です

    f(x)=arctanxとする時f^(n)(0)をnが奇数の場合と偶数の場合に分けて求めよ 解いてくださいお願いします

  • 5-8 高校数学 場合の数

    nを正の整数とし、n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える ただし1個のボールも入らない箱があってもよいものとする 以下に述べる4つの場合についてそれぞれ相異なる入とれ方の総数を求めたい (1)1からnまで異なる番号の付いたn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合、その入れ方は全部で何通りあるか (2)互いに区別の付かないn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合その入れ方は全部で何通りあるか (3)1からnまで異なる番号の付いたn個のボールを区別の付かない3つの箱に入れる場合、その入れ方は全部で何通りあるか (4)nが6の倍数6mであるとき、n個の互いに区別の付かないボールを区別の付かない3つの箱に入れる場合、その入れ方は全部で何通りあるか (解説) (1)3^n (2)A,B,Cにそれぞれa,b,c個入るとしてa+b+c=n(a>=0,b>=0,c>=0)(1) をみたす整数解(a,b,c)の個数を求めればよいが、(1)は(a+1)+(b+1)+(c+1)=n+3 (a+1>=1,b+1>=1,c+1>=1) と同値であることに着目して[n+2]C[2]=(n^2+3n+2)/2通り (3)求める場合の数を次のように3分割する nことも1箱だけに入れるもの...x通り n個を2箱に分散して入れるもの...y通り n個を3箱に分散して入れるもの...z通り これらx,y,zと(1)との関係を考えると、まずx=1であり(1)ではこれを3通りと数えy通りの1つ1つを(1)では3!通りと数えz通りの1つ1つを(1)では3!通りと数えている したがってx×3+(y+z)×6=3^n(x=1) よって求める場合の数x+y+zは1+y+z=1+(3^n-1×3)/6=(3^(n-1)+1)/2通り (4)3箱のボールの個数をa,b,c(a<=b<=c)とし(3)と同様に求める場合の数を次のように3分割する a=b=cをみたすもの...p通り a=b<c or a<b=cをみたすもの...q通り a<b<cをみたすもの...r通り すると(2)の場合の数はp+3q+6r通りと数えられるから p+3q+6r=(n^2+3n+2)/2(2) ここでp=1であり、またq通りは(0,0,6m)(1,1,6m-2)....(3m,3m,0)の3m+1通りから(2m,2m,2m)の1通りを除いてq=3mである、よって(2)から r=1/6×{1/2×(36m^2+18m+2)-(1+3×3m)}=3m^2 以上により答えはp+q+r=3m^2+3m+1通り の (3)のx,y,zが(1)で1や3!通りずつという所と x×3+(y+z)×6=3^n の所が何を意味しているのか分かりません (4)の解説で(2)の場合の数がp+3q+6rの所とr=1/6{}=3m^2 以上によりp+q+r=3m^2+3m+1通りというのが何でなのか分かりません を質問したら (3) n個とも1箱だけにいれるもの・・・x通り これが(1)の数え方なら3通りあり、(3)の形では1通り n個を2箱に分散して入れるもの・・y通り n個を3箱に分散して入れるもの・・・z通り yとzの数は同じ考え方で計算できるという意味で同じです。 例(6,2,1)(6,1,2)(1,6,2)(1,2,6)(2,6,1)(2,1,6) は全て同じものとして考えられますが、同様にして (6,3,0)(6,0,3)(0,6,3)(0,3,6)(3,6,0)(3,0,6) となりこの両者は同じものです。この両者は同じですから分けて考えるのではなく、同じものとして(y+z)を求めた方が楽 xとy,zの違いは一番多く入った箱以外の二つの箱を区別するかどうかだけです。 便宜的に箱をABCと名前をつけると、(1)の結果から3^n通あり ここからどれか一つの箱にだけ入っている場合の3通りを引くと(3^n-3)になります。この箱の名前を付け替えるとすればA→3通り、B→2通り、Cは残り、と3!通りあるはずです。 したがって、x+y+z = 1 + (3^n-3)÷3! (4) まずa=b=c の時は1通りしかないのは問題ないでしょう。このとき、a=b=c=2mです。次にa=b<c or a<b=cをみたすもの・・q通り ですが、a=bのとき、a<cなのでaは0から2m-1までの2m通り、同様にb=cのときはbは2m+1から3mまでのm通りあるはずです。 a<b<cをみたすもの・・r通り a<b<cから、aは0~2m-1までの2m通りあるはずです。aとbが決まればcも決まるという関係上、aとbだけを考えればよいです ここでaが奇数のときはm通りあり a=2m-1の時、b+c=4m+1からbは2mの1通り a=2m-3の時、b+c=4m+3からbは2m-2~2m+1の4通り ・・・ a=1の時、b+c=6m-1からbは2~3m-1の(3m-2)通り よりΣ(3m-2)=3m(m+1)/2-2m通り 偶数のときも同様にm通りあり、(b=cとなるときを除外しなければならないのに注意) a=2m-2の時、b+c=4m+2からbは2m-1~2mの2通り a=2m-4の時、b+c=4m+4からbは2m-3~2m+1の5通り ・・・ a=0の時、b+c=6mからbは1~3m-1の(3m-1)通り よりΣ(3m-1)=3m(m+1)/2-m通り よって 3m(m+1)/2-2m + 3m(m+1)/2-m と回答して下さったのですが (3)でyとzが同じとあるのですが例えばn=6の時 箱が空の時(3,3,0),(3,0,3),(0,3,3)とあり箱に入る球がすべて違うとき(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)となり異なるのではないですか?同じと言うのが何故同じなのか分かりません 仮に(y+z)を求めるとして、 (3^n-3)になるのも分からないです (4)は偶数と奇数で分ける所ですが偶数だとb=cの場合があるから分ける必要があるとあるのですがb=cになると何故駄目なのでしょうか?