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数学の幾何学の問題がわからないです。

n∈Nに対し、Z上の同値関係~nを次のように定め、x∈Zの同値類を[x]n、商集合をZ/~nをZ/~nZで表す。 x~ny⇔(x-y)/n∈Z 次の写像の定義はwell definedかどうか調べよ。 (1) f: Z/4Z → Z/2Z ; [x]4 → [x]2 (2) g: Z/2Z × Z/3Z → Z/6Z ; ( [x]2 , [x]3 ) → [xy]6 どちらか片方だけでもおしえてくれませんか?? さっぱりわからないのです。

みんなの回答

回答No.2

まず、これは通常幾何学とはいいません。代数学、もっといえば整数論の問題です。 (1) 整数 m が x +(4の倍数) の形の数なら、m は x +(2の倍数)の形の数でもあります。 つまり写像 f は矛盾なく定義されます(= well-definedです) (2) 整数 m が x +(2の倍数) の形の数で n が y+(3の倍数) の形の数なら、mn はつねに xy+ (6の倍数)の形の数になるでしょうか? そうでないと g は矛盾を含み、定義になりませんよね。 もし g が well-defiend であるなら、例えば g([0]2, [1]3) = [0]6 ......(式 a) ですよね? 一方で、 g([2]2, [1]3) = [2]6 ......(式 b) です。 いま、(2 -0)/2 ∈ Z なので [0]2 = [2]2 です。つまり、(式 a)の左辺 = (式 b)の左辺 一方、(2 -0)/6 ∉ Z なので [0]6 ≠ [2]6 です。つまり、(式 a)の右辺 ≠ (式 b)の右辺 これは明らかに矛盾してますね。 つまり、g は well-defined ではない(定義になってない)わけです。

  • stomachman
  • ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.1

 x~ny ってのは、差がnの倍数であるもの同士は「おんなじ」としましょ、ということ。言い換えれば「nで割った余りが同じ」という同値関係です。  (1)はですね、たとえばx(∈Z)から[x]2への写像というのなら全然問題ない。けれども、[x]4から[x]2への写像を考えるんですから、「4で割った余りがある値aであるような数xなら、どんなxでも答[x]2が同じになる(つまり、答は余りaだけで決まる)」ということが成立っていないといけない。これがwell definedということです。  (2)の方も同様に、[x]2と[y]3から[xy]6への写像を考えるには、「2で割った余りがある値aであるような数xと、3で割った余りがある値bであるような数yであれば、どんなx,yでも答[xy]6が同じになる(つまり、答がa,bだけで決まる)」ということが成立たなくちゃいけない。

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