二次形式に関する質問です

質問

ｎ個の変数x_1,・・・x_nに関する実係数の斉二次式を二次形式という。任意の二次形式はx_ix_jの係数をa_ijとおくと
Ｆ(x_1,・・・,x_n)=Σa_ijx_ix_jと書ける。
今、a_iiは一意的に決まるが、ここでa_ij=a_jiとすればa_ijも一意的に決まる。係数行列Ａ=(a_ij)を二次形式Ｆの行列という。Ａは実対称行列。

x=(x_1,x_2,・・・x_n)とすれば
容易にわかるように、Ｆ(x_1,・・・,x_n)=Ｆ(x)=t^xAxとできる。
これをＦ(x)=Ａ[x]と書くことにする。

二次形式Ｆ(x)=Ａ[x]に対し、適当な直交行列Ｐをとって、x=Pyとすれば
Ｆ(x)=Ｇ(y)=α_1(y_1)^2+_α2(y_2)^2+・・・+α_n(y_n)^2
とできる。ただし、α_iはＡの重複もこめた固有値である。
さらに
α_1,・・・α_p＞０　
α_p+1,・・・,α_q＜０
α_q+1,＝・・・＝α_n＝０
とできる。p+qはＡの階数である。

さらに、変数の正則線形変換
y_i=z_i/√α_i(1≦i≦p)　
ｙ_j=z_j/√-α_j (p+1≦j≦p+q)
を行えば
Ｆ(x)=(z_1)^2+・・・+(z_p)^2-(z_p+1)^2-・・・-(z_p+q)^2
となる。これを二次形式Ｆ(x)の標準形という。

また、p,qの組(p,q)を二次形式Ｆ(x)=Ａ[x]の"符号"という
(pはＡの正の固有値の数、qは負の固有値の数である)

符号の判定として、次に例示する"ラグランジュの方法"がある。

(例1)
F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2+4xy+4yz
=(x+2y)^2+y^2-5z^2+4yz
=(x+2z)^2+(y+2z)^2-(3z)^2
よって符号は(2,1)である。

(例２)
Ｆ(x,y,z)=2xy+2yz
平方項がないから、x'=x+y , y'=x-yとすれば
Ｆ(x,y,z)=(x'^2/2)-(y'^2/2)+(x'-y')z
={(x'+z)^2}/2-(y'^2/2)-y'z-z^2/2
={(x'+z)^2}/2={(y'+z)^2}/2
={(x+y+z)^2}/2-{(x-y+z)^2}/2
よって符号は(1,1)である。

・・・・と(線形代数入門/斎藤正彦に)書いてあるんですが、ここで言う"ラグランジュの方法"とは何なのかがまったくわからずに困っています。
いったいラグランジュの方法とは何なのでしょうか？

この例って、私には単に上手く変形してるだけにしか見えないのですが・・。

私はラグランジュと名のつくものは、微積分の教科書で学習したラグランジュの未定乗数法くらいしか聞いたことがないのですが・・・まさかそのことではないですよね？

仮にそうだとしても、どのように未定乗数法を適用してるかもさっぱりです。

どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(_ _)m
かなり困ってます・・。

回答No.2

de_Raemon · ベストアンサー

線型代数入門には例だけで系統的な手順の解説がありませんが、
平方完成によって対角化をする方法らしいです。

↓ここの「ラグランジェ法」の項を参照。
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/added2/mathL01_20_21.htm

過去ログからも参考になるのをみつけました。
http://okwave.jp/qa2280430.html
↑ここの回答番号：No.2
固有方程式を解くのが困難で、対角化するための直交行列も汚い場合に
二次形式の符号だけ知りたいときに有効な手法なようです。

お礼

回答ありがとうございます！
毎回、回答していただき本当に助かりますm(_ _)m

どちらの参考も読ませていただきました。
前者はところどころ[作用素]などといった馴染みのない単語が出てきましたが、おおよそ書いてあることは理解できました。
質問の内容も納得いきました。

でも、私はまだp158までしか予習が進んでいないので、符号や二次形式がどのように使われるのか(なにがうれしいのか)まだよくわかっていません、ですからもっと読み進めてみますね。

次回私の質問を見かけた時、もしよろしければ
ぜひまた御意見お聞かせください。
ありがとうございました

回答No.1

Tacosan

へ～, 「ラグランジュの方法」っていうんだ, 知らなかった....
さすがに未定乗数法じゃないです. あなたのいう「上手く変形する」手法のことでしょう.
ちなみにこれでできることは
「実対称行列 A と (実) 正則行列 P に対し, A と P^tAP の符号は等しい」という定理で保証されます.

お礼

回答ありがとうございます。
そうですか、さすがに未定乗数法ではなかったですね！
ホッとしました。
一瞬自分の知っている未定乗数法を疑いましたので・・(汗
助かりました。