キリング形式が非退化であることと同値な条件

質問

g：n次元のリー代数
｛v_1,…,v_n}：gの基底としたとき
B_ij＝B(v_i,v_j)　（Bはキリング形式を表わしています）
とおくと、この値を(i,j)成分とするn次対称行列A＝[B_ij]が定まる。
detAが消える（Aが正則の）ときキリング形式Bは非退化であるという。

という非退化の条件の下に

この条件はB(X,Y)=0が∀Y∈ｇに対して成立するのはX=0に限ることと同値である。

とあったのですが、どうして同値なのかがよくわかりません。

大変恐縮なのですが、教えていただきたいです。

回答No.2

ask-it-aurora · ベストアンサー

問題は det A が消えない，の書き間違えでしょう．コレはリー代数というよりは線形代数の演習問題に近いですね．

任意の X = x_1 v_1 + … + x_n v_n ∈ g をとり，基底の各元 v_j とのキリング形式を計算すると仮定より，
0 =B(X, v_j) = B(v_1, v_j) x_1 + … + B(v_n, v_j) x_n
を得ます．それらすべてをまとめて行列表示すれば
Ax = 0
となります．ここで x は (x_1, ..., x_n) の転置です．仮定より A は正則行列なので x = 0 となります．つまり X = 0 です．

逆も似たようなものです． Ax = 0 なる任意の x を取ります．上と同じように対応する元 X = x_1 v_1 + … + x_n v_n を取ります．Ax = 0 より基底の各元 v_j に対して B(X, v_j) = 0 なので任意の Y に対して B(X, Y) = 0． よって仮定よりX = 0 を得ます．つまり連立方程式 Ax = 0 は自明な解しか持たないので A は正則です．

お礼

ありがとうございます。
とてもわかりやすい回答で、大変参考になりました。

回答No.1

gomagoma427

キリング形式がなにかは知らないのですが、一般に双線型形式

B:　VxV　→　F（スカラー）

が非退化というのは

V　→　V*
ｖ　→　B（ｖ,　●）　

が同型写像になることを言ったと思います。それほど数学に詳しくないので間違っているかもしれませんが・・・。

B　を　行列Aで表すとき、

B（ｖ、ｗ）　＝　ｖAw　

のような形になります。したがって

ｖ　→　ｖA

が同型になるためにはAは可逆でないといけないことになります。つまり行列式が０になりません。
私が間違っているのかもしれませんが、detAが消えるときBは退化なのではないでしょうか・・・？