実数の或る演算形式に関する質問

質問

記号 ◇ を，以下で説明する演算とします．

演算記号 ◇ の説明．

下に示す演算

f(p,q)＝y_p ◇ z_q

を考えます．いま，p と q を正の整数とし，
f(p,q)，y_p，z_q は実数とします．

p＝1,2,...,m.
q＝1,2,...,n.

とし，演算◇を，以下のように定義します.

f(1,1)＝y_1 ＋ z_1，　(p＝1)
f(1,2)＝y_1 ＋ z_2，　(p＝1)
・・・・・，
f(1,n)＝y_1 ＋ z_n，　(p＝1)

f(2,1)＝y_2 ＋ z_1，　(p＝2)
f(2,2)＝y_2 ＋ z_2，　(p＝2)
・・・・・，
f(2,n)＝y_2 ＋ z_n，　(p＝2)

・・・・・・・・・・，

f(p,1)＝y_p ＋ z_1，　(一般項)
f(p,2)＝y_p ＋ z_2，　(一般項)
・・・・・，
f(p,n)＝y_p ＋ z_n，　(一般項)

・・・・・・・・・・，

f(m,1)＝y_m ＋ z_1，　(p＝m)
f(m,2)＝y_m ＋ z_2，　(p＝m)
・・・・・，
f(m,n)＝y_m ＋ z_n．　(p＝m)
（定義おわり）

ここからが質問です．

演算◇は，すでに定義されて使われていますか？
または，演算◇に類似した数学的な理論がありますか？
または，演算◇を含む数学理論がありますか？
あれば，その理論名か，演算名か，定義名を教えて下さい．
また，数学分野のどのへんを探せば演算◇に類似した演算が使われていますか？
教えて下さい．よろしくお願いします．

回答No.5

jcpmutura · ベストアンサー

[z　y_1]
[z　y_2]
[・・・]
[z　y_k]
[・・・]
[z　y_m]

(要素が正整数の,z=x_1,…,x_mと変化する)
2×m次元行列という名前の付けられた定義として存在します。

要素が任意の実数で正方行列であれば線形代数という分野があります。

演算◇は，すでに和(+)として定義されて使われています
演算◇=(+)なので加群という数学的な理論があります
演算◇=(+)を含む群論又は線形代数という数学理論があります

お礼

参考になりました．
ありがとうございました．

回答No.4

jcpmutura

y_p◇z_q=y_p+z_q

この等式は(p,q)に関係なく成立するのだから単に

y◇z=y+z

と書けるので

「◇」と「+」は全く同じものなのです

補足

これまでの回答では，質問に対する明確な回答が得られませんでしたので，質問の書き方を変えます．

m行2列の行列を以下のように書くことにします．

[x_1　y_1]
[x_2　y_2]
[・・・・]
[x_k　y_k]
[・・・・]
[x_m　y_m]

k＝1，2，・・・，m として，m および x_k と y_k を正の整数とします．
また，全ての k について，x_k ≠ y_k とします．
そして，集合 S を S ＝{x_k｜k＝1，2，・・・，m }とします.
このとき，z ∈ S として，下記の行列（仮に，z行列と呼びます），

[z　y_1]
[z　y_2]
[・・・]
[z　y_k]
[・・・]
[z　y_m]

が，名前の付けられた定義として数学に存在しますか？
または，これに類似した事柄を含む数学分野がありますか？
お忙しいところ恐縮ですが，どうぞ，回答者さんのお考えを教えて下さい．

回答No.3

jcpmutura

訂正します

◇は
(y_p,z_q)にy_p◇z_qを対応させる関数なのです

fは
(p,q)にf(p,q)=y_p◇z_qを対応させる関数なのです

(p,q)に(y_p,z_q)を対応させる関数をhとすると

fはhと◇を合成した写像となるので

f(p,q)=◇(h(p,q))

となります

hの逆写像が存在しないので

◇の定義をfでは定義できません。

hの逆写像h^{-1}が存在すれば

◇(y,z)=f(h^{-1}(y,z))

と◇を定義できますが
hの逆写像は存在しません

(p,q)-h→(y_p,z_q)-◇→y_p◇z_q

(p,q)----------f-----→f(p,q)

お礼

ご回答，ありがとうございました．

回答No.2

jcpmutura

◇は
(y_p,z_q)にy_p◇z_qを対応させる写像なのです

fは
(p,q)にf(p,q)=y_p◇z_qを対応させる写像なのです

(p,q)に(y_p,z_q)を対応させる写像をhとすると

fはhと◇を合成した写像となるので

f(p,q)=◇(h(p,q))

となります

hの逆写像が存在しないので

◇の定義をfでは定義できません。

hの逆写像h^{-1}が存在すれば

◇=f(h^{-1}(p,q))

と◇を定義できますが
hの逆写像は存在しません

(p,q)-h→(y_p,z_q)-◇→y_p◇z_q

(p,q)----------f-----→f(p,q)

お礼

ご回答，ありがとうございました．

回答No.1

jcpmutura

f(p.q)=y_p◇z_q
f(p,q)=y_p+z_q
だから
y_p◇z_q=y_p+z_q
だから
「◇」は実数y_pと実数z_pの単なる和「+」でしかありません。

2項演算とは
集合A上で定義される2変数の写像
μ:A×A→A;(x,y)→μ(x,y)
をA上の2項演算といい
Aを2項演算の定義域といいます

「◇」の定義域は
{y_1,…,y_m}×{z_1,…,z_n}
に限定しているので
「◇」は演算とはいえません

f(p,q)=y_p◇z_q
の
左辺のfの定義域は
自然数の組(p,q)
で
右辺の◇の定義域は
実数の組(y_p,z_q)
で
定義域が異なるので
◇の定義をfで定義する事はできません

R=(全実数)
R^m=(1×m次元縦ベクトル空間)
R^n=(n×1次元横ベクトル空間)
R^{mn}=(m×n次元行列空間)

f:R^m×R^n→R^{mn}

1×m次元縦ベクトル
y=(y_1;y_2;…;y_m)∈R^m
と
n×1次元横ベクトル
z=(z_1,z_2,…,z_n)∈R^n

に対して
m×n次元行列

f(y,z)=y◇z={{y_p+z_q}_{q=1～n}}_{p=1～m}

を対応させると

f(y,z)(p,q)=(y◇z)(p,q)=y_p+z_q

となりますが
この
◇の定義域はR^m×R^n,値域はR^{mn}だから演算とはいえません

お礼

ご回答をありがとうございます.
とても参考になりました．
補足で質問の記述の一部を訂正します.

補足

質問の記述の一部を訂正します.

● 訂正前：f(p,q)，y_p，z_q は実数とします．
● 訂正後：f(p,q)，y_p，z_q は正の整数とします．

この条件のもとで，f(p.q)=y_p◇z_q の◇を各pに対し，

f(p,1)＝y_p ＋ z_1，
f(p,2)＝y_p ＋ z_2，
・・・・・，
f(p,n)＝y_p ＋ z_n

という組みで定義します．
このような「組みとして表記する定義が数学上で成されていますか？」が質問です.
質問の核心は「組みとして表記する定義が数学上で成されていますか？」なのです．

勿論，◇は和の意味になります．単に，f(p.q)=y_p＋z_q と書いたのでは，
「組みとして表記する定義」には，なりませんので・・・．

もし「組みとして表記する定義」がなければ，新しく定義して使用するつもりです．