式の証明

質問

x,y,z∈Nがx^(2)+y^(2)=Z^2をみたすとき
(1)x,y.zの内少なくとも１つは偶数である。
(2)x,y,zの内少なくとも１つは５の倍数である。

(1)は、x,y,zすべてが奇数と仮定すると
奇数+奇数=偶数・・・・
で解いたのですが、
(2)においては、何個か数字を代入して規則性が
(3n)^(2)+(4n)^(2)=(5n)^2
になるのは、分かりました。こんなやり方で解いて良いのでしょうか？
正式な解き方を教えてもらえないでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.5

age_momo · ベストアンサー

まず、一点注意しておきますと

>(2)においては、何個か数字を代入して規則性が
>(3n)^(2)+(4n)^(2)=(5n)^2

これは間違っています。例えば
n^2-(n-1)^2=2n-1
ですので、(2n-1)が整数の2乗になっているようなnについて与式が成り立ちます。
2n-1=25
n=13
よって
5^2+12^2=13^2
その他、
7^2+24^2=25^2
9^2+40^2=41^2
などがあります。いずれも5の倍数が有ますがzとは限りません。

今、x^2+y^2=z^2が成り立っていてx,y,zがいずれも5の倍数で無いとすると、
x^2=5k±1
y^2=5m±1
z^2=5n±1
x^2+y^2=5(k+m)±2　or　5(k+m)
x^2+y^2≠z^2
で矛盾します。

お礼

回答ありがとうございます。
ご指摘ありがとうございます。
なんとかできました。
そうですよね。x,y,zがいずれも５の倍数でないとすると・・・
で余りに注目するんですよね。
ありがとうございます。

回答No.4

totoro7683

No2です。
２，３が起こりえないのはz＾２を割ったあまりは
０，１，４のいずれかだからです。

z＾２が５で割り切れるとzが５で割り切れるのは
No3の方が説明されていますが、
一般に素数pがa^2（aは自然数）を割り切るとき
ｐはaを割り切ります。
証明は素因数分解の一意性という整数の性質を使います。
a,a^2の素因数分解を考えてみてください。
a=p1^{q1}...pk^{qk}(piは素数）
a^2=p1^{2q1}...pk^{2qk}
a^2がpを素因数に持つと一意性から必ずp1,...,pkのなかに
pを含んでいます。
だからaもｐで割り切れます。

お礼

度々ご回答ありがとうございます。
なんとか理解できることができました。

回答No.3

rtz

No2の方の補足。

ZとZ^2の下一桁を考えて見ましょう。
Z^2が5の倍数の倍数ならZ^2の下一桁は0か5です。
二乗して下一桁が0になるのは、Zの下一桁が0のときだけ。
二乗して下一桁が5になるのは、Zの下一桁が5のときだけ。

つまりどっちにしろZも5の倍数になってしまうというわけです。

お礼

回答ありがとうございます。
なんとかできました！

回答No.2

totoro7683

整数の二乗を５で割ったときあまりは０か１か４になります。
ｘ、ｙのどちらかが５で割り切れたらそれでよし、
両方とも割り切れなかったらx^2+y^2を５で割ったあまりは
１＋１＝２、１＋４＝５、４＋４＝８＝３＋５
で０，２，３のいずれかになりますが、
２，３は起こりえない。
したがってｚ＾２は５でわりきれる。
ｚは５で割り切れる。

お礼

回答ありがとうございます。
２、３が起こりえないのは、zが整数にならない
という理由からでよろしいんですよね？
また、z^2が５で割り切れるとzが５で割り切れると
いうのは、なぜなんでしょうか？

回答No.1

Tacosan

整数を 2乗したときに, 5で割った余りがいくつになるかを考えてみてください.

お礼

回答ありがとうございます。