エルデスシュトラウスの予想を証明しました。完成版

質問

前回掲載した証明方法は、説明が不十分のようなので補足する意味で、完成版を掲載します。
Ｎを2以上の自然数とすると、4／Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚを満たす自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが必ず存在するとエルデス・シュトラウスは予想しました。
(1)（1／Ｎ）×（Ｎ／Ｎ）と(2)（1／Ｎ）×（Ｎ／Ｎ+1）と(3)（1／Ｎ）×（1／Ｎ+1）との3つの塊を考えます。(1)は1／Ｎです。(2)は（1／Ｎ+1）です。(3)は（1／Ｎ（Ｎ+1））です。(1)(2)(3)とも全て、分子は1で、分母は自然数です。また、(2)+(3)＝（1／Ｎ）×（Ｎ／Ｎ+1）+（1／Ｎ）×（1／Ｎ+1）＝（1／Ｎ）×（Ｎ+1）／（Ｎ+1）＝1／Ｎとなります。故に(1)+(2)+(3)＝2／Ｎとなります。従って、1／Ｎ+（1／Ｎ+1）+（1／Ｎ（Ｎ+1））＝2／Ｎ（2／Ｎ公式その1と呼ぶ）は常に成立します。
Ｎが偶数の時、2／Ｎ公式その1にＮの半分の値を当てはめると、求める式は出来上がります。例えばＮ＝22の場合、11を使います。（1／11）+（1／（11+1））+（1／（11×（11+1）））＝（1／11）+（1／12）+（1／（11×12））＝（1／11）+（1／12）+（1／122）＝24／122＝4／22となり、求める式が出来ます。
Ｎが奇数の時、Ｎは3の倍数、3の倍数+1、3の倍数+2の3通りがあります。Ｎ＝3ｎの時、(1)の式にはｎを使います。分母を1／3にする為、(1)の値は3倍になります。(2)+(3)の式にはＮを使いますので、値は元のままです。(1)+(2)+(3)＝4／Ｎとなります。例えばＮ＝9の場合、（1／3）+（1／（9+1））+（1／（9×（9+1））＝（1／3）+（1／10）+（1／（9×10）＝（1／3）+（1／10）+（1／90）＝40／90＝4／9となり、求める式が出来ます。
Ｎ＝3ｎ+2の時、(2)+(3)の式のＮ+1の値が3ｎ+2+1＝3（ｎ+1）と3の倍数になるので、(2)+(3)の式にＮ+1の替りに、ｎ+1を使います（(3)の分母のＮはそのままです）。分母を1／3にする為、(2)+(3)の値は3倍になります。(1)の式にはＮを使うので、値は元のままです。(1)+(2)+(3)＝4／Ｎとなります。例えばＮ＝11のとき、3ｎ+2＝11なので、3ｎ＝9、ｎ＝3を使います。（1／11）+（1／（3+1））+（1／（11×（3+1）））＝（1／11）+（1／4）+（1／44）＝16／44＝4／11となり、求める式が出来ます。
次ぎに、Ｎ＝3ｎ+2でＮが奇数の時です。Ｎは4の倍数－1、4の倍数－3の2通りがあります（Ｎ＝4の倍数、Ｎ＝4の倍数－2の時、何れもＮは偶数となります）。
Ｎが4の倍数－1の場合、（Ｎ+1＝4ｎの時）(1)式中のＮの代わりに倍数ｎを使います。(2)式+(3)式は、（1／2Ｎｎ）+（1／2Ｎｎ）と変形します。2／Ｎ公式を1／ｎ+（1／2Ｎｎ）+（1／2Ｎｎ）＝2／Ｎ（2／Ｎ公式その2と呼ぶ）とします。例えばＮ＝19の時、19+1＝20＝5×4なので、2／Ｎ公式その2に倍数5を使います。（1／5）+（1／（2×19×5））+（1／（2×19×5））＝（1／5）+（1／190）+（1／190）＝40／190＝4／19となり、求める式が出来ます。
Ｎが4の倍数－3（4ｎ－3とする）の場合、2Ｎ+Ｎ+1＝2（4ｎ－3）+（4ｎ－3）+1＝12ｎ－8＝4（3ｎ－2）となり、2Ｎ+Ｎ+1は必ず4の倍数となります。2Ｎ+Ｎ+1を4で割った商である（3ｎ－2）をＰとします。即ち4Ｐ＝2Ｎ+Ｎ+1です。その時、（1／Ｐ）+（1／2Ｐ）+（1／2ＮＰ）＝2／Ｎ（2／Ｎ公式その3と呼ぶ）は常に成立します。
Ｐの代わりにＰ／2＝ｐを使います。例えば、Ｎ＝37の時、（37×2+37+1）／4＝112／4＝28＝Ｐです。ですから、ｐ＝14を2／Ｎ公式その3に使います。（1／14）+（1／（2×14））+（1／（2×37×14））＝（1／14）+（1／28）+（1／1,036）＝（1／14）+（1／28）+（1／1,036）＝（74+37+1）／1,036＝112／1,036＝4／37となり、求める式が出来ます。これで、2／Ｎ公式その1・2・3により、全てのＮについて求める式が出来ました。
従って、Ｎを2以上の自然数とすると、4／Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚを満たす自然数Ｘ・Ｙ・Ｚが必ず存在すると言えます。
この方法で、1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚと表せないＮがあったら教えてください。

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

N=73のとき
73=3*24+1=4*19-3
P=(2N+N+1)/4=(2*73+73+1)/4=55
Pは奇数だから
P/2=pは整数でないから
その方法では、予想を証明できません

N=2nのとき
4/(2n)=[1/n]+[1/(2n)]+[1/(2n)]
N=3nのとき
4/(3n)=[1/(2n)]+[1/(2n)]+[1/(3n)]
N=m(3n+2)のとき
4/{m(3n+2)}=[1/{m(3n+2)}]+[1/{m(n+1)}]+[1/{m(3n+2)(n+1)}]
N=m(4n+3)のとき
4/{m(4n+3)}=[1/{m(n+1)}]+[1/{m(4n+3)(2n+2)}]+[1/{m(4n+3)(2n+2)}]
N=12m(2n-1)+1=m(24n-11)のとき
4/{m(24n-11)}=[1/{m(9n-4)}]+[1/{2m(9n-4)}]+[1/{2m(24n-11)(9n-4)}]
となって予想は成立しますが、
N=12(2n)+1=24n+1=素数のとき
予想が成立するかどうか未解決です。

4/73=1/20+1/292+1/730=1/(4*5)+1/(4*73)+1/(10*73)
4/97=1/28+1/194+1/2716=1/(4*7)+1/(2*97)+1/(4*7*97)

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/erdos.htm

回答No.5

catbird

皆さん、的確なアドバイスありがとうございます。以下の通り補足させてもらいます。また次回の問題ではよろしく。（390131より）
Ｎが4の倍数－3で、ｐが奇数の場合でも、Ｎが素数でなければ、Ｎ＝Ｌ×Ｍとなります。4／Ｎ＝4／（Ｌ×Ｍ）＝（4／Ｌ）×（1／Ｍ）です。4／Ｌを2／Ｎ公式その1と2を使って求め、その分母にＭを掛ければ出来ます。
例えば、Ｎ＝49の時、（49×2+49+1）／4＝148／4＝37＝Ｐとなり、2／Ｎ公式その3は使えません。しかし、4／49＝4／（7×7）＝（4／7）×（1／7）です。4／7は2／Ｎ公式その2より、（1／2）+（1／2×7×2）+（1／2×7×2）＝（1／2）+（1／28）+（1／28）＝（14+1+1）／28＝16／28＝4／7です。これに1／7を掛けると、（1／（2×7））+（1／（28×7））+（1／（28×7））＝（1／14）+（1／196）+（1／196）＝（14+1+1）／196＝16／196＝4／49となり、求める式が出来ます。
Ｎが素数で、24の倍数+1の場合が残りました。Ｎ＝73・97・193・313・337・・・・です。その場合、Ｎより大きい16の倍数の内、最小の値であるＡを求めます。そして、Ａ／4＝ａとします。Ａが求める（4／Ｎ）の分子で、Ｎ×ａが分母です。
例えばＮ＝73の時、Ａ＝80、ａ＝20です。80／（20×73）＝4／73＝（1／73）（73／20）+（1／73）（7／20）＝（1／73）（73／20）+（1／73）（2／20）+（1／73）（5／20）＝（1／20）+（1／730）+（1／292）＝（146+4+10）／2920＝160／2920＝4／73です。
同様にして、ｎ＝97の時、Ａ＝112、ａ＝28なので、（1／97）（97／28）+（1／97）（15／28）＝（1／97）（97／28）+（1／97）（1／28）+（1／97）（14／28）＝（1／28）+（1／2716）+（1／194）＝（97+1+14）／2716＝112／2716＝4／97です。
Ｎ＝193の時、（1／52）+（1／5018）+（1／772）＝（193+2+13）／10036＝208／10036＝4／193です。Ｎ＝313の時、（1／80）+（1／12520）+（1／5008）＝320／25040＝4／313です。Ｎ＝337の時、（1／88）+（1／7414）+（1／2696）＝352／29656＝4／337です。
この様に分子分母を設定すると、素数でかつＮ＝24の倍数+1の場合、Ｎ＝1／Ｘ+1／Ｙ+1／Ｚと表現できます。

回答No.3

alice_44

あれ？ A No.1 は回答じゃなく補足なのかな。
ハンドルを２個使っているということですか？

その訂正を考慮すると、件の P が出てくる議論は、
http://okwave.jp/qa/q6536114.html で残されていた
『N = 3n+1 かつ N = 4m-3 かつ N = 2k+1』の場合を考察しています。
これは、整理すると『N = 12x+1』の場合と書くことができます。

しかし、残念。N = 12x+1 の場合も、
P = 9x+1 だから、x の遇奇を仮定しなければ P/2 は整数にならず、
未だ場合分けは尽くされていません。

回答No.2

alice_44

前回の http://okwave.jp/qa/q6536114.html でも指摘しておいたのですが、
式を書かずに言葉で計算を説明すると、何をやっているんだか非常に読み辛いです。
次回(があれば…)は、是非、言葉ではなく式で書いてください。読む身にもなって。

内容的には、N = 4n-3 の場合を追加したんですね。
依然として、N = 3n と N = 3n+2 の場合があって、N = 3n+1 の場合がないので、
奇異な印象がありますが、
今回は、N が偶数の場合と N = 4n-1、N = 4n-3 の場合について書いているので、
場合分けは網羅的です。
そっちで場合を網羅して、N = 3n+1 のことは書かないのであれば、
N = 3n、N = 3n+2 のことは書く必要が無かったのです。無駄に複雑になるだけだから。

肝心の N = 4n-3 の場合ですが、
N = 4n-3 のとき P = 3n-2 と置くと 2/N = 1/P + 1/(2P) + 1/(2NP) までは正しい。
その後で「Ｐの代わりにＰ／2＝ｐを使います」としたことに問題があります。
P は偶数とは決まっていないので、P/2 = p と置くと p は整数でないかもしれません。

p が整数の場合だけ考えるとなると、P が偶数、すなわち n が偶数の場合だけを
処理しており、N を 8 で割ると 1 余る場合については、未だ考察していないのです。

引き続き、がんばってください。

回答No.1

catbird

23行目の「次ぎに、Ｎ＝3ｎ+2でＮが奇数の時です。」は、「次ぎに、Ｎ＝3ｎ+1でＮが奇数の時です。」の誤りでした。変更させていただきます。390131より。