背理法

質問

x,y,zを自然数とし、P=(x＾2)+(y＾2)+（ｚ＾2)とする。
このときx,y,z,pがすべて素数ならば、x,y,zのうち少なくとも１つは３の倍数を証明する問題で

背理法を用いて、すべてが３でないとき
x≠3,y≠3,z≠3、P≠3
と仮定して
このとき、x,y,zがすべて素数であることから、x,y,z,pはいずれも３の倍数ではない。
この後どのように考えるのか分かりません。

回答No.2

kabaokaba

問題が変です

>x,y,z,pがすべて素数ならば、
>x,y,zのうち少なくとも１つは３の倍数を証明する

x,y,zが素数だったら
3以外の3の倍数のわけはありません．
ですので
「少なくとも１つは３である」ことを
証明するという問題か
もしくは

pが素数ならば、x,y,zのうち少なくとも１つは
３の倍数であることを証明する

という問題では？

解き方はNo.1さんの方針通りです．
3で割り切れない数の二乗を3で割るとあまりはいくつか？
というのがポイントです

補足

問題文に問題があってすいません。

例えば
p=3の倍数　…(1)
x,y,zがすべて素数だと
x≧2,y≧2,z≧2
P=(x＾2)+(y＾2)+(z＾2)≧(2＾2)+(2＾2)+(2＾2)≧1＾2 …(2)

(2)の≧1＾2 が最後に付くのか分かりません。
それと、(1)と(2)がどうして矛盾しているのか分かりません。

回答No.1

rtz

＞x,y,zのうち少なくとも１つは３の倍数を証明する
ので、x,y,zの全てが3の倍数でないと仮定してください。
そうしたらx,y,zがどう表せるか考えてみてください。
その上でP=x＾2+y＾2+z＾2を使って矛盾を導けば終わりです。

あとP≠3は過程の段階では必要ないと思います。