代数の問題で

質問

m | n　 ⇔　 ((p^m)-1) | ((p^n)-1) ⇔　 ((x^(p^m))-x) | ((x^(p^n))-x)

この証明が分かりません!!

よろしくお願いします。

m,nは正の整数です。

回答No.3

yoikagari

m|n⇒(p^n -1)|(p^m -1)の証明

このとき、正の整数kを用いてn=mkとかける。
p^n -1=p^(mk) -1=(p^m -1){(p^m)^(mk-m) +(p^m)^(mk-2m) +…+1}
だからp^n -1はp^m -1で割り切れるから(p^n -1)|(p^m -1)がいえる。

(p^n -1)|(p^m -1)⇒m|nの証明

nがmで割り切れないと仮定する。
nをmで割ったときの商をq、余りをrとする。
n=mq+r，0＜r＜m
p^m -1=p^(mq+r) -p^r +p^r -1=p^r{p^(mq) -1}+p^r -1
=(p^m -1)p^r{(p^m)^(mq-m) +(p^m)^(mq-2m) +…+1}+p^r -1
だからp^m -1をp^n -1で割ったときの余りがp^r -1＞0となるから
(p^n -1)|(p^m -1)ではなくなり不合理。
したがって、nがmで割り切れないという仮定が誤りで、nがmで割り切れること
すなわちm|nがいえる。

以上よりm|n⇔(p^n -1)|(p^m -1) が証明された

上記命題より、(p^n -1)|(p^m -1)⇔x^(p^m -1)-1|x^(p^n -1)-1がいえる。
{x^(p^n -1)-1}/{x^(p^m -1)-1}={x^(p^n)-x}/{x^(p^m)-x}より
x^(p^m -1)-1|x^(p^n -1)-1⇔{x^(p^n)-x}/{x^(p^m)-x}がいえる。

以上より、(p^n -1)|(p^m -1)⇔{x^(p^n)-x}/{x^(p^m)-x}がいえた。

以上の議論より、m|n⇔(p^n -1)|(p^m -1)⇔{x^(p^n)-x}/{x^(p^m)-x}がいえた。

回答No.2

178-tall

>m | n　 ⇔ ((p^m)-1) | ((p^n)-1) ⇔ ((x^(p^m))-x) | ((x^(p^n))-x)

(p^m)-1 の m 個の零点 pk = e^(i*k*2π/m) ; k = 0, 1, .... , (m-1) による因数積表示を想定してみれば？

後半は、(x^(p^m))-x = x^{(p^m)-1)} らしいので、前半を使えますね。

回答No.1

Tacosan

2つの ⇔ は本質的に同じなので左だけやればいい.
さらに ⇒ はほぼ自明なので ← (こっち向きの二重矢印ってあるんだっけ?) だけだが, これも「m が n を割り切ることができなければ p^m-1 は p^n-1 を割り切らない」というだけなので n = km + d, d ≠ 0 とおいて地道に割るだけ.