この問題を教えてください。

質問

この問題を教えてください。
問題は
ｘを正の数、ｎを正の整数とするとき、
e^x＞Σx^k/k！（Σはｋ＝0からｎ）
これをｎについての数学的帰納法によって証明せよ。
です。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

両辺を積分することがミソです！

　f_(n)(x)=exp(x)-Σ[k=0→n]x^k/k!　とします。

(1) n=1のとき
　　f_(1)(x)=exp(x)-(1+x)
　　f_(1)'(x)=exp(x)-1 >0 (∵x>0)
　従ってf_(1)'(x)は正なので、f_(1)(x)は単調増加関数。
　　x=0のとき　f_(1)(0)=0なので、　f_(1)(x)>0 (∵x>0)

(2) f_(n)(x)>0　と仮定します。
　　exp(x)-Σ[k=0→n]x^k/k! > 0
　両辺を積分すると、
　　∫[0→x]exp(t)dt-Σ[k=0→n]∫[0→x]t^k/k! dt > 0
　⇔exp(x)-1-Σ[k=0→n] x^(k+1)/(k+1)! > 0
　⇔exp(x)-Σ[k=0→n+1]x^k/k! > 0
　∴f_(n+1)(x) > 0

　(1),(2)から数学的帰納法により、
　　x>0, n:正整数のとき　exp(x) > Σ[k=0→n]x^k/k!